ir para o conteúdo
Topologia e conjuntos em exercícios
Mantido pelo grupo "Topologia do Interior"
Ferramentas do usuário
Entrar
Ferramentas do site
Pesquisar
Ferramentas
Mostrar página
Revisões anteriores
Links reversos
Alterações recentes
Gerenciador de mídias
Índice
Entrar
>
Alterações recentes
Gerenciador de mídias
Índice
Visitou:
lista:ma
===== Axioma de Martin ===== <WRAP info> Dizemos que uma relação $\leq$ sobre um conjunto $P$ é uma {{entry>pré-ordem}} se, para quaisquer $a, b, c \in P$ temos: - $a \leq a$; - se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$. </WRAP> **~~#~~** Dê um exemplo de uma pré-ordem que não seja uma ordem.<wrap help>[[Solucao:preOrdemNordem|Solução]]</wrap> <WRAP info> Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $F \subset P$ é um {{entry>filtro/sentido de pré-ordem; filtro}} se $F \neq \emptyset$ e: - $F \neq P$ (condição de não trivialidade); - se $p, q \in F$, então existe $r \leq p, q$ tal que $r \in F$; - se $p \in F$ e $q \in P$ é tal que $p \leq q$, então $q \in F$. </WRAP> <WRAP info> Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $p, q \in P$ são {{entry>incompatíveis}} se não existe $r \in P$ tal que $r \leq p, q$. Notação: $p \bot q$. </WRAP> <WRAP info> Dizemos que uma pré-ordem $(P, \leq)$ é {{entry>separativa}} se, para todo $p \in P$ existem $q, r \leq p$ tais que $q \bot r$. A menos de menção contrária, sempre estaremos supondo que as pré-ordens dadas são separativas e não vazias. </WRAP> **~~#~~** Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Seja $F \subset P$ um conjunto tal que, para todo $a, b \in F$, existe $c \in F$ tal que $c \leq a, b$. Mostre que existe um filtro $G \subset P$ tal que $F \subset G$. <wrap help>[[Solucao:FcGfiltroemP|Solução]]</wrap> <WRAP info> Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem e $D \subset P$. Dizemos que $D$ é {{entry>denso/sentido de pré-ordem; denso}} em $P$ se, para todo $p \in P$ existe $d \in D$ com $d \leq p$. </WRAP> **~~#~~** Seja $(D_n)_{n \in \omega}$ uma família de densos. Mostre que existe $F$ filtro tal que $F \cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$. <wrap help>[[Solucao:FiltroFcapDnEmpty|Solução]]</wrap> <WRAP info> Dizemos que $f \subset A \times B$ é uma {{entry>função}} se, para todo $(a, b_1), (a, b_2) \in f$, temos que $b_1 = b_2$. </WRAP> <WRAP tip> A ideia na definição de função é pensar a função como o conjunto de pontos no seu "gráfico". Isto é, dada uma função $f: A \rightarrow B$, consideramos $f$ como o conjunto $\{(a, f(a)): a \in A\}$. </WRAP> **~~#~~** Considere $P = ${{entry>$Fn(\omega, \omega)$}}$ = \{f: f$ é função tal que $dom(f) \subset \omega$ é finito e $Im(f) \subset \omega\}$. Nos próximos exercícios, considere $P$ com a ordem $\supset$. **~~#.#~~** Seja $F$ um filtro sobre $P$. Mostre que $\varphi = \bigcup_{f \in F} f$ é uma função (com domínio e imagens contidos em $\omega$).<wrap help>[[Solucao:BigCupEhFuncao|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Seja $n \in \omega$. Mostre que $D_n = \{f \in P: n \in dom(f)\}$ é denso em $P$.<wrap help>[[Solucao:DnEhDenso|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Mostre que, se $F \cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$, então $dom(\varphi)= \omega$.<wrap help>[[Solucao:DomPhiEqOmega|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Seja $g: \omega \rightarrow \omega$. Mostre que $E_g = \{f \in P: f \not\subset g\}$ é denso em $P$.<wrap help>[[Solucao:EgEhDenso|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Seja $g: \omega \rightarrow \omega$. Suponha que $F \cap E_g \neq \emptyset$. Mostre que $\varphi \neq g$. <wrap help>[[Solucao:fInEgneqh|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Mostre que não existe $F$ filtro sobre $P$ tal que $F \cap D_n \neq \emptyset$ e $F \cap E_g \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$ e $g: \omega \rightarrow \omega$. <wrap help>[[Solucao:NaoExisteFiltroDnEg|Solução]]</wrap> <WRAP info> Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $A \subset P$ é uma {{entry>anticadeia}} se, dados $a, b \in A$ distintos, temos que $a \bot b$. </WRAP> <WRAP info> Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $P$ satisfaz {{entry>ccc}} (countable chain condition) se toda anticadeia em $P$ é enumerável. </WRAP> **~~#~~** Mostre que $P$ do exercício acima é enumerável e, portanto, ccc.<wrap tip>[[dica:ordemEnum|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:Penumeravelccc|Solução]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:PenumeravelcccAlt|Solução Alternativa]]</wrap> <WRAP info> Dado um filtro $G$ e uma família $\mathcal D$ de densos, dizemos que $G$ é {{entry>$\mathcal D$-genérico}} se $G \cap D \neq \emptyset$ para todo $D \in \mathcal D$. </WRAP> <WRAP info> Seja $\kappa$ um cardinal. Denotamos por {{entry>MA$_\kappa$}} a afirmação: Dada $(P, \leq)$ uma pré-ordem ccc e dada $\mathcal D$ uma família de densos em $P$ com $|\mathcal D| \leq \kappa$, então existe $F$ filtro sobre $P$ tal que $F$ é $\mathcal D$-genérico. </WRAP> **~~#~~** Mostre que vale MA$_\omega$.<wrap help>[[Solucao:maomega|Solução]]</wrap> **~~#~~** Mostre que não vale MA$_{\mathfrak c}$.<wrap help>[[Solucao:ma-c|Solução]]</wrap> <WRAP info> O {{entry>Martin/axioma de; axioma de Martin}} (MA) é a afirmação: para todo $\kappa < \mathfrak c$ vale MA$_\kappa$. </WRAP> **~~#~~** Mostre que a hipótese do contínuo implica o axioma de Martin.<wrap help>[[Solucao:hc->ma|Solução]]</wrap> <WRAP tip> Veja algumas aplicações interessante do axioma de Martin nesta [[lista:applMA|lista]]. </WRAP>
lista/ma.txt
· Última modificação: 2020/12/18 15:12 por
aurichi
Ferramentas da página
Mostrar página
Revisões anteriores
Links reversos
Voltar ao topo