Topologia e conjuntos em exercícios

===== Axioma de Martin =====

<WRAP info>
Dizemos que uma relação $\leq$ sobre um conjunto $P$ é uma {{entry>pré-ordem}} se, para quaisquer $a, b, c \in P$ temos:
  - $a \leq a$;
  - se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$. 
</WRAP>

**~~#~~** Dê um exemplo de uma pré-ordem que não seja uma ordem.<wrap help>[[Solucao:preOrdemNordem|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $F \subset P$ é um {{entry>filtro/sentido de pré-ordem; filtro}} se $F \neq \emptyset$ e:
  - $F \neq P$ (condição de não trivialidade);
  - se $p, q \in F$, então existe $r \leq p, q$ tal que $r \in F$;
  - se $p \in F$ e $q \in P$ é tal que $p \leq q$, então $q \in F$.
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $p, q \in P$ são {{entry>incompatíveis}} se não existe $r \in P$ tal que $r \leq p, q$. Notação: $p \bot q$.
</WRAP>

<WRAP info>
Dizemos que uma pré-ordem $(P, \leq)$ é {{entry>separativa}} se, para todo $p \in P$ existem $q, r \leq p$ tais que $q \bot r$. A menos de menção contrária, sempre estaremos supondo que as pré-ordens dadas são separativas e não vazias. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Seja $F \subset P$ um conjunto tal que, para todo $a, b \in F$, existe $c \in F$ tal que $c \leq a, b$. Mostre que existe um filtro $G \subset P$ tal que $F \subset G$. <wrap help>[[Solucao:FcGfiltroemP|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem e $D \subset P$. Dizemos que $D$ é {{entry>denso/sentido de pré-ordem; denso}} em $P$ se, para todo $p \in P$ existe $d \in D$ com $d \leq p$.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $(D_n)_{n \in \omega}$ uma família de densos. Mostre que existe $F$ filtro tal que $F \cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$. <wrap help>[[Solucao:FiltroFcapDnEmpty|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Dizemos que $f \subset A \times B$ é uma {{entry>função}} se, para todo $(a, b_1), (a, b_2) \in f$, temos que $b_1 = b_2$.
</WRAP>

<WRAP tip>
A ideia na definição de função é pensar a função como o conjunto de pontos no seu "gráfico". Isto é, dada uma função $f: A \rightarrow B$, consideramos $f$ como o conjunto $\{(a, f(a)): a \in A\}$.
</WRAP>

**~~#~~** Considere $P = ${{entry>$Fn(\omega, \omega)$}}$ = \{f: f$ é função tal que $dom(f) \subset \omega$ é finito e $Im(f) \subset \omega\}$. Nos próximos exercícios, considere $P$ com a ordem $\supset$.
  
**~~#.#~~** Seja $F$ um filtro sobre $P$. Mostre que $\varphi = \bigcup_{f \in F} f$ é uma função (com domínio e imagens contidos em $\omega$).<wrap help>[[Solucao:BigCupEhFuncao|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Seja $n \in \omega$. Mostre que $D_n = \{f \in P: n \in dom(f)\}$ é denso em $P$.<wrap help>[[Solucao:DnEhDenso|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que, se $F \cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$, então $dom(\varphi)= \omega$.<wrap help>[[Solucao:DomPhiEqOmega|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Seja $g: \omega \rightarrow \omega$. Mostre que $E_g = \{f \in P: f \not\subset g\}$ é denso em $P$.<wrap help>[[Solucao:EgEhDenso|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Seja $g: \omega \rightarrow \omega$. Suponha que $F \cap E_g \neq \emptyset$. Mostre que $\varphi \neq g$. <wrap help>[[Solucao:fInEgneqh|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que não existe $F$ filtro sobre $P$ tal que $F \cap D_n \neq \emptyset$ e $F \cap E_g \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$ e $g: \omega \rightarrow \omega$. <wrap help>[[Solucao:NaoExisteFiltroDnEg|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $A \subset P$ é uma {{entry>anticadeia}} se, dados $a, b \in A$ distintos, temos que $a \bot b$. 
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $P$ satisfaz {{entry>ccc}} (countable chain condition) se toda anticadeia em $P$ é enumerável.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $P$ do exercício acima é enumerável e, portanto, ccc.<wrap tip>[[dica:ordemEnum|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:Penumeravelccc|Solução]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:PenumeravelcccAlt|Solução Alternativa]]</wrap>

<WRAP info>
Dado um filtro $G$ e uma família $\mathcal D$ de densos, dizemos que $G$ é {{entry>$\mathcal D$-genérico}} se $G \cap D \neq \emptyset$ para todo $D \in \mathcal D$.
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $\kappa$ um cardinal. Denotamos por {{entry>MA$_\kappa$}} a afirmação: Dada $(P, \leq)$ uma pré-ordem ccc e dada $\mathcal D$ uma família de densos em $P$ com $|\mathcal D| \leq \kappa$, então existe $F$ filtro sobre $P$ tal que $F$ é $\mathcal D$-genérico. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que vale MA$_\omega$.<wrap help>[[Solucao:maomega|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que não vale MA$_{\mathfrak c}$.<wrap help>[[Solucao:ma-c|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
O {{entry>Martin/axioma de; axioma de Martin}} (MA) é a afirmação: para todo $\kappa < \mathfrak c$ vale MA$_\kappa$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que a hipótese do contínuo implica o axioma de Martin.<wrap help>[[Solucao:hc->ma|Solução]]</wrap>

<WRAP tip>
 Veja algumas aplicações interessante do axioma de Martin nesta [[lista:applMA|lista]].
</WRAP>
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