Topologia e conjuntos em exercícios

===== Conjunto de Luzin =====

<WRAP tip>
Este é um roteiro para mostrar que existe um conjunto de Luzin supondo a Hipótese do Contínuo (CH). 
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<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer ver os resultados da lista de [[lista:Berstein|Conjuntos de Bernstein]].
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<WRAP info>
Seja $X$ um espaço topológico. Dizemos que um conjunto $N$ é nowhere dense em $X$ se $\forall B \subset X$ aberto tal que $B \neq \emptyset$, temos $\overline{N} \nsupseteq B$. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $N \subset X$ conjunto nowhere dense. Mostre que:

**~~#.#~~** Se $A \subset N$, então $A$ é nowhere dense.


**~~#.#~~** Se $N_1, N_2,..., N_m \subset X$, $m \in \omega$, são nowhere dense, então $\bigcup_{i = 1}^{m} N_i$ é nowhere dense. 

**~~#.#~~** $\overline{N}$ é fechado de interior vazio.

<WRAP info>
Dizemos que $L \subset \mathbb R$ é um {{entry>Conjunto de Luzin}} se $L$ é não enumerável e toda interseção de $L$ com $A \subset \mathbb R$ nowhere dense é tal que $|L \cap A| \leq \omega$. 
</WRAP>

**~~#~~** Suponha CH. Note que basta construirmos $L \subset \mathbb R$ tal que $|L \cap F| \leq \omega$, para todo $F \subset \mathbb R$ fechado de interior vazio.

**~~#.#~~** Seja $\mathcal{F} = \{F_{\xi} : \xi < \mathfrak{c} \}$ a família de todos os fechados de interior vazio. Vamos construir a sequência $(x_{\xi})_{\xi < \mathfrak{c}}$, por indução transfinita, que terá a propriedade do conjunto de Luzin em cada passo.

**~~#.#~~** Considere a construção:

1. Para cada $\xi < \mathfrak{c}$, escolha $x_{\xi} \in F_{\xi}$ tal que $x_{\xi} \in \big( \mathbb R \setminus \bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta} \big)$;

2. Para $\zeta < \xi$, $|\{x_{\zeta} : \zeta < \xi\} \cap F_{\xi}| \leq \omega$.

**~~#.#~~** Mostre que se $\xi < \mathfrak{c}$, então $\bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta} \subsetneq \mathbb R$. <wrap tip>[[Dica:BaireTheorTip|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Suponha que a construção está feita para $\zeta < \xi$. Note que podemos escolher $x_{\xi}$ como em (1).

**~~#.#~~** Mostre que $|\{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\} \cap F_{\xi}| \leq \omega$. <wrap tip>[[Dica:LuzinCons|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solução:LuzinConsSol|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que $L = \{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\}$ é um conjunto de Luzin.
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