Topologia e conjuntos em exercícios

===== Espaços de Lindelöf =====

<WRAP tip>
Talvez seja melhor você ler a lista de [[lista:compactos|compactos]] antes desta.
</WRAP>

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um {{entry>espaço de Lindelöf}} se, para toda cobertura aberta $\mathcal C$ para $X$, existe $\mathcal C' \subset C$ subcobertura enumerável.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo espaço compacto é de Lindelöf. 

**~~#~~** Mostre que todo espaço com base enumerável é de Lindelöf.<wrap help>[[solucao:Lindelöf - 1|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Dê um exemplo de um espaço de Lindelöf que não seja compacto.

**~~#~~** Mostre que se $X$ é de Lindelöf e $F \subset X$ é fechado, então $F$ é de Lindelöf.

**~~#~~** Mostre que se $X$ tem base enumerável, então todo subespaço seu é de Lindelöf.

**~~#~~** Seja $(X, d)$ espaço métrico. Mostre que são equivalentes:
  * $X$ é separável
  * $X$ tem base enumerável
  * $X$ é de Lindelöf

**~~#~~** Mostre que, se $X$ é de Lindelöf e regular, então $X$ é normal.<wrap tip>[[dica:lindelofNormal|Dica]]</wrap>

**~~#~~** Seja $X$ espaço de Lindelöf e $K$ um espaço compacto. Mostre que $X \times K$ é de Lindelöf.

<WRAP tip>
Uma boa lista para fazer depois desta é a de [[lista:Sorgenfrey| contraexemplos usando a Reta de Sorgenfrey]].
</WRAP>
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