Topologia e conjuntos em exercícios

===== Um jogo indeterminado =====

<WRAP info>
 Dado um ultrafiltro $u$, definimos $J(u)$ como o seguinte jogo entre os jogadores $Alice$ e $Beto$: a cada rodada $n \in \omega$, $Alice$ escolhe $a_n \in \omega$ maior do que a escolha anterior de $Beto$ e então $Beto$ escolhe $b_n >a_n$. Definimos os seguintes conjuntos:
$$ A = \{0,1,\dots, a_0\} \cup \bigcup_{n \in \omega} \{b_{n-1}+1, b_{n-1}+2, \dots, a_n\}$$
$$ B = \bigcup_{n \in \omega} \{a_n+1,a_n+2,\dots, b_n\}$$
$Alice$ vence se $A \in u$ e $Beto$ vence se $B \in u$.\\
Pense que na primeira rodada $Alice$ escolhe um segmento inicial de $\omega$, e depois $Beto$ escolhe um segmento inicial dos números maiores do que a escolha de $Alice$ e assim por diante. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que toda partida admite um único vencedor.

**~~#~~** Note que se $u$ é principal, $Alice$ tem uma estratégia vencedora.

**~~#~~** Suponha $u$ não principal.

**~~#.#~~** Mostre que se $Beto$ tiver uma estratégia vencedora, então $Alice$ também tem.

**~~#.#~~** Mostre que se $Alice$ tem uma estratégia vencedora, então $Beto$ também tem.<wrap tip>[[dica:copiaEstrategia|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Conclua que o jogo é indeterminado.

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