Topologia e conjuntos em exercícios

===== Ideia geral =====

<WRAP tip>

Antes de começar as listas de forcing, é melhor você ter visto algo sobre o [[lista:MA|Axioma de Martin]] e também sobre [[lista:algebraBoole|Álgebras de Boole]]
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Nesta lista vamos supor alguns resultados que serão provados posteriormente. Precisamos também ter fixada uma álgebra de Boole $B$. O primeiro resultado é um metateorema:

<WRAP info>
**Metateorema** Para cada fórmula $\varphi$ na teoria dos conjuntos, existe um $[\![ \varphi ]\!] \in B$ ({{entry>valor booleano de $\varphi$}}). Além disso, se $\varphi$ e $\psi$ são fórmulas de teoria dos conjuntos, temos:
  * $[\![ \neg \varphi ]\!] = - [\![ \varphi ]\!]$
  * $[\![ \varphi \land \psi ]\!] = [\![ \varphi ]\!] [\![ \psi ]\!]$
</WRAP>

O resultado anterior é um metateorema no seguinte sentido: fixadas $\varphi_1, ..., \varphi_n$ fórmulas, conseguimos provar o teorema acima para essas fórmulas (ou seja, calculamos os valores Booleanos de cada uma delas e os valores apresentam as relações acima). 

Além do resultado anterior, também precisamos do seguinte:

<WRAP info>
**Metateorema** Se $\varphi$ é um axioma de ZFC, então $[\![ \varphi ]\!] = 1$.
</WRAP>

Do mesmo jeito que os resultados acima são metateoremas, alguns dos exercícios abaixo são "metaexercícios".

**~~#~~** Mostre que $[\![ \varphi \lor \psi ]\!] = [\![ \varphi ]\!] + [\![ \psi ]\!]$.

**~~#~~** Mostre que, dados $a, b \in B$, $a \leq b$ se, e somente se, $-a + b = 1$.

**~~#~~** Mostre que $[\![ \varphi \rightarrow \psi ]\!] = 1$ se, e somente se, $[\![ \varphi ]\!] \leq [\![ \psi ]\!]$.

**~~#~~** Mostre que se $\varphi$ pode ser provada a partir de finitos axiomas de ZFC, então $[\![ \varphi ]\!] = 1$.

**~~#~~** Mostre que se $\varphi$ é tal que $[\![ \varphi ]\!] \neq 0$, então não existe uma demonstração para $\neg \varphi$.

<WRAP tip>
Resumindo, se conseguirmos uma maneira de calcular $[\![ \varphi ]\!]$ para cada $\varphi$ respeitando os metateoremas apresentados, para mostrarmos que uma $\varphi$ é consistente com ZFC, é suficiente provar que $[\![ \varphi ]\!] \neq 0$.
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