Topologia e conjuntos em exercícios

===== A hipótese do Contínuo e uma Caracterização do Espaço de Cantor =====

<WRAP tip>
Precisamos apenas das definições básicas da lista sobre [[lista:esquemasConjuntos|esquemas]] e de alguns resultados da lista [[lista:cauchycompletude|sobre completude]]
</WRAP>

<WRAP info>
Fixemos $X$ metrizável, e $ f:A^{<\omega} \to \mathcal{P}(X) $ um esquema regular.

  * Dizemos que $ f $ é **de Souslin** se $ f $ é tal que $ \mathrm{diam}(f(\alpha \upharpoonright n)) \to 0 $.
  * Dizemos que $ f $ é de **de Lusin** se é de Souslin tal que $ s \perp t \implies f(s) \cap f(t) = \emptyset $.
  * Um **esquema de Cantor** é um esquema de Lusin com $ A = 2 $. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $f$ de Souslin e $X$ métrico completo. No que segue, vamos impor cumulativamente condições sobre $f$ e obter algumas consequências:

**~~#.#~~** Defina $T \subset A^{<\omega}$ como os elementos onde $f \neq \emptyset$. Mostre que se $t \in T$ então toda restrição de $t$ também está ((Em outras palavras, mostre que $T$ é subárvore de $A^\{<\omega$)).

**~~#.#~~** Mostre que os ramos $\bigcap_{n \in \omega}f(\alpha \upharpoonright n)$ através de $f$, tomados $\alpha \in [T] $ ramos de $T$((Sequências infinitas $\alpha \in A^\omega$ tais que $\forall n \in \omega $ temos $\alpha \upharpoonright n \in T $)), são conjuntos unitários $\{x_\alpha\}$.

**~~#.#~~** Note que $[T]$ é subespaço da topologia produto. Defina $ \tilde{f}:[T] \to X $ tal que $ \tilde{f}(\alpha) \doteq x_{\alpha} $, mostre que $ \tilde{f} $ é contínua.

**~~#.#~~** Suponha agora que $f$ é de Lusin, mostre que $\tilde{f}$ é injetora.

**~~#.#~~** Se $f:A^{<\omega} \to \tau$ toma imagem em abertos de $X$, mostre que $\tilde{f}$ é também inclusão de subespaço.

**~~#.#~~** Se $f:A^{<\omega} \to \tau$ é de Cantor com $f \neq \emptyset$ então $\tilde{f}$ inclui o espaço de Cantor (( O espaço $2^\omega$, por hora.)) em $X$.

**~~#.#~~** Mostre que se, além de tudo isso, $f(\langle \rangle) = X$ e $f(s) = \bigcup_{a \in A} f(s^\frown a)$, então $f$ é homeomorfismo. ((Mostre que bijeção contínua entre Hausdorff Compactos é homeomorfismo.))

==== A hipótese do contínuo sobre fechados de Espaços Poloneses ====

<WRAP info>
 Um {{entry>Espaço polonês}} é um espaço segundo enumerável completamente metrizável. O exemplo clássico é a reta real, os irracionais e o conjunto de Cantor.
</WRAP>

**~~#~~** Este será um roteiro para o **Teorema de Cantor-Bendixson**:

**~~#.#~~** Mostre que se $x \in X$ é ponto isolado e $\mathcal{B}$ é base de $x$, então $\{x\} \in B$.

**~~#.#~~** Mostre que um espaço polonês pode ser decomposto em $X = A \sqcup B$ (possivelmente vazios) onde $A$ é enumerável discreto e $B$ é polonês **sem pontos isolados**.

**~~#~~** Considere $X$ um espaço polonês sem pontos isolados.

**~~#.#~~** Mostre que existe um esquema aberto de Cantor $f:2^{<\omega} \to \tau$ tal que $f \neq \emptyset$.

**~~#.#~~** Conclua que todo fechado **não enumerável** de polonês contém uma cópia do espaço de Cantor.

**~~#.#~~** Mostre que todo polonês tem cardinalidade $\leq \mathfrak{c}$ que o contínuo. <wrap tip>[[dica:polish-continuum|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Considere a família dos fechados de poloneses. Mostre que se $|F| > \aleph_0$ não é enumerável, então $|F|=\mathfrak{c}$.
==== Caracterização do espaço de Cantor ====

<WRAP tip>
Para esta subseção, é necessário familiaridade com a construção do conjunto de Cantor na reta e alguns conceitos da lista [[lista:compactosxmetricos|sobre metrizáveis compactos]]. Lembrando que um {{entry>zero-dimensional}} é um espaço que tem base de abertos fechados.
</WRAP>

**~~#~~** Tome $X$ um espaço não vazio, compacto, zero-dimensional e sem pontos isolados. Vamos mostrar que $X$ é homeomorfo ao espaço de Cantor.

**~~#.#~~** Mostre que $X$ tem métrica compatível que o deixa com diâmetro unitário e defina $f(\langle \rangle) \doteq X$.

**~~#.#~~** Argumente a existência de coberturas finitas via conjuntos de diâmetro estritamente menor que $2^{-n}$.

**~~#.#~~** Tome um $s$ com $f$-valor cujos sucessores ainda não tem $f$-valor. Seja $f(s)$ um //clopen//. Argumente que seu diâmetro é positivo. Argumente que $f(s)$ é compacto.

**~~#.#~~** Decomponha $f(s)$ em **finitos** //clopens// $\{B_k\}_{k= 1,..., n}$ disjuntos com diâmetro $\leq \frac{\mathrm{diam} f(s)}{4}$.

**~~#.#~~** Mostre que não pode ser $n=1$.

**~~#.#~~** Obtidos $B_1,...,B_n$ acima, faça a bipartição de $f(s)$ em $ f(s^\frown 0) = B_1 $ e $f(s^\frown 1) \doteq B_2 \sqcup \cdots \sqcup B_n $. Bipartimos agora $f(s^\frown 1)$ em $f((s\frown 1)^\frown 0) \doteq B_2$ e $f((s^frown 1)^\frown 0) \doteq B_3 \sqcup \cdots \sqcup B_n$ até terminarmos.

**~~#.#~~** Argumente que $f$ é esquema aberto de cantor, $f \neq \emptyset$ e cada imagem por $s$ é reunião de das imagens por seus sucessores $s^\frown 0$ e $s^\frown 1$. 

**~~#.#~~** Conclua que $\tilde{f}$ será homeomorfismo.

**~~#~~** Considere a construção do conjunto de Cantor na [[lista:cantor|lista anterior]] munido da topologia induzida pela reta. Mostre que este espaço topológico tem todas as propriedades da caracterização anterior e, portanto, é realização homeomorfa ao espaço de Cantor como subespaço da reta.

**~~#~~** Considere $ 0 \leq k_n \in \omega$, tal que $C \doteq \{n \in \omega \, : \,k_n > 1\}$ é cofinal (( para todo $m \in \omega$ existe $n \in C$ com $m \leq n$.)), mostre que $\prod k_n$ é homeomorfo ao espaço de Cantor.

**~~#~~** [Não trivial] Use a mesma técnica para mostrar que $\omega^\omega$ é, a menos de homeomorfismo, o único espaço topológico não vazio, polonês, zero-dimensional e tal que todo subespaço compacto tem interior vazio e, analogamente, argumente que ele é isomorfo aos irracionais.
Topologia e conjuntos em exercícios

Ferramentas do usuário

Ferramentas do site

Ferramentas da página
