Topologia e conjuntos em exercícios

===== Esquemas de Conjuntos =====

<WRAP tip>
Vamos precisar do Lema de König da lista sobre [[lista:Arvores|árvores]]. Esta lista é sobre uma **técnica** tacitamente empregada com frequência em várias outras listas, será rápido e fácil! Considere sempre que $T$ é uma boa árvore, como árvores de sequências finitas $A^{<\omega}$ sobre um conjunto $A \neq \emptyset$ (**aparada**).
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<WRAP info>
Fixemos $X$ um conjunto qualquer e $\mathcal{F}\neq \emptyset$ uma família de subconjuntos de $X$. Seja $T$ uma árvore, um $T$-{{entry>esquema de conjuntos}}, ou $T$-{{entry>sistema de conjuntos}}, é simplesmente uma função $f:T \to \mathcal{F}$. Em outras palavras, uma **árvore de conjuntos** $t \mapsto A_t$. Se $T$ está subentendida, chamamos apenas de esquema de conjuntos.  Se $f$ é monótona decrescente, dizemos que ela é {{entry>esquema regular}} de conjuntos.

Vamos chamar de **ramo através de $f$** um conjunto do tipo $\bigcap_{t < \alpha} f(t)$ ((Aqui $t<\alpha$ quer dizer $t \in \alpha$, se você está considerando uma árvore como ordem, ou $\alpha \upharpoonright n = t$, se você está imaginando uma árvore de sequências.)), onde $r$ é ramo de $T$. Vamos chamar de **nível $k$ de $f$** a reunião $\bigcup_{r \in Lev(k)}f(r)$ das imagens $f(r)$ dos elementos $r$ de altura $k$ da árvore.  
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que a reunião dos ramos através de um sistema é subconjunto da intersecção dos níveis deste sistema.

**~~#~~** Considere um sistema $f:T \to \mathcal{P}(X)$.

**~~#.#~~** Se $f$ é tal que $s \perp r \implies f(r) \cap f(s) = \emptyset$ (($T$-incompatibilidade  implica em $\mathcal{P} (X)$-incompatibilidade.)) mostre que a intersecção dos níveis de $f$ é igual à reunião dos ramos através de $f$. 

**~~#.#~~** Mostre o mesmo para o caso em que $f$ é regular e $T$ é árvore infinita que se ramifica finitamente.

<WRAP center round tip 60%>
 Algumas aplicações destes conceitos se encontram em

  * [[lista:oxtobycomesquemas|O jogo de Banach Mazur e Espaços de Baire]]
  * [[lista:esquemastopologicos|A hipótese do contínuo sobre fechados e uma caracterização do espaço de Cantor]]
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Topologia e conjuntos em exercícios

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