Topologia e conjuntos em exercícios

===== Enumeravelmente compactos =====

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é {{entry>enumeravelmente compacto}} se toda cobertura aberta enumerável admite subcobertura finita.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $X$ é compacto se, e somente se, $X$ é de Lindelöf e enumeravelmente compacto.<wrap help>[[Solucao:CompactoeqLindelofeEnumcompacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $X$ enumeravelmente compacto. Mostre que se $F \subset X$ é fechado, então $F$ é enumeravelmente compacto. <wrap help>[[Solucao:FechadoEnumcompacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $X$ espaço $T_1$. Mostre que $X$ é enumeravelmente compacto se, e somente se, todo conjunto infinito de $X$ admite ponto de acumulação. <wrap help>[[Solucao:Enumcompactossetodoinfinitopontacum|Solução]]</wrap>
<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é {{entry>pseudocompacto}} se, para toda $f: X \rightarrow \mathbb R$ contínua, temos que $f[X]$ é limitado.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que se $X$ é enumeravelmente compacto, então $X$ é pseudocompacto.<wrap tip>[[dica:enumCompactoPseudoCompacto|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:enumCompactoPseudoCompacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que se $X$ é normal, então todo pseudocompacto é enumeravelmente compacto.<wrap tip>[[dica:PseudoCompactoEnumCompacto|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:PseudoCompactoEnumCompacto|Solução]]</wrap>

<WRAP tip>
Para ver que a normalidade é necessária no exercício anterior, veja esta [[lista:psiEspacos|lista]].
</WRAP>
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