Topologia e conjuntos em exercícios

===== Espaços dispersos =====

<WRAP info>
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é {{entry>espaço/disperso; disperso}} se todo subespaço $Y \subset X$ não vazio contém um ponto isolado (em $Y$).
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb N_{>0}\} \cup \{0\}$ (com a topologia usual) é disperso.

**~~#~~** Mostre que $X$ é disperso se, e somente se, todo subespaço fechado não vazio de $X$ admite um ponto isolado.

<WRAP info>
Dado um espaço $(X, \tau)$, chamamos de {{entry>derivado}} de $X$, denotado por $X'$ o subconjunto de todos os pontos não isolados de $X$. Definimos $X^{(0)} = X$ e $X^{(1)} = X'$. Se $\alpha = \beta + 1$ para algum ordinal $\alpha$, definimos $X^{(\alpha)} = (X^{(\beta)})'$. Se $\alpha$ é um ordinal limite, definimos $X^{(\alpha)} = \bigcap_{\beta < \alpha} X^{(\beta)}$. Definimos a {{entry>altura de Cantor-Bendixson}} de $X$ o menor $\alpha$ tal que $X^{(\alpha + 1)} = X^{(\alpha)}$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que a altura de Cantor-Bendixson está bem definida. Isto é, que para qualquer $X$ existe $\alpha$ tal que $X^{(\alpha + 1)} = X^{(\alpha)}$.

**~~#~~** Mostre que $X$ é disperso se, e somente se $X^{(\alpha)} = \emptyset$ onde $\alpha$ é a altura de Cantor-Bendixson de $X$. Por isso, se $X$ é disperso, chamamos $\alpha$ de simplesmente a {{entry>altura}} de $X$. <wrap help>[[Solucao:dispersoaltura|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que, para todo espaço $X$, existem $D, P \subset X$ disjuntos tais que $X = D \cup P$, onde $D$ é disperso e $P$ é fechado e sem pontos isolados.
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