Topologia e conjuntos em exercícios

===== Densos $\times$ bases =====

<WRAP tip>
Como o nome sugere, provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:Densos|lista de densos]] e da [[lista:Bases|lista de bases]]. A [[lista:enumerabilidade|lista de enumerabilidade]] pode ajudar em alguns exercícios também.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que se $(X, \tau)$ tem base enumerável, então $X$ é separável.<wrap tip>[[dica:baseEnumeravelSeparavel|Dica]]</wrap><wrap help>[[solucao:DensosxBases1|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Seja $Y$ denso em $X$. Mostre que, se $Y$ é separável, então $X$ é separável. <wrap help>[[solucao:DensosxBases.2|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, d)$ espaço métrico. Mostre que se $X$ é separável, então $X$ tem base enumerável.<wrap tip>[[dica:MetricoSeparavel|Dica]]</wrap><wrap help>[[solucao:DensosxBases3|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico com base enumerável. Mostre que, dado $Y \subset X$, $Y$ é separável.<wrap help>[[solucao:subespacoseparavel|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Considere $P = \{(x, y) \in \mathbb R^2: y \geq 0\}$. Considere sobre $P$ a seguinte topologia. Se $(x, y)$ é tal que $y > 0$, então os abertos básicos em torno de $(x, y)$ são as bolas abertas usuais centradas em $(x, y)$ (métrica euclidiana). Dado $(x, 0) \in P$, um aberto básico em torno de $(x, 0)$ é d forma $B_r((x, r)) \cup \{(x, 0)\}$ ($B_r(x, y)$ é a bola centrada em $(x, y)$ de raio $r$ com a métrica euclidiana). Este espaço é chamado de {{entry>plano/Niemytski;plano de Niemytski}}.<wrap help>[[solucao:DensosxBases 5|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que tal espaço é separável.

**~~#.#~~** Mostre que $\{(x, 0): x \in \mathbb R\}$ é um discreto não enumerável (e, portanto, não separável). Ser {{entry>espaço/discreto; discreto}} quer dizer que, com a topologia de subespaço, tem a topologia discreta.

**~~#.#~~** Mostre que tal espaço não tem base enumerável.<wrap tip>[[dica:semBaseEnum|Dica]]</wrap>

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é {{entry>espaço/metrizável; metrizável}} se existe $d$ métrica sobre $X$ tal que a topologia induzida por $d$ é a própria $\tau$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que o plano de Niemystki não é metrizável.<wrap help>[[solucao:DensosxBases6|Solução]]</wrap>
Topologia e conjuntos em exercícios

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