Topologia e conjuntos em exercícios

===== Densos =====

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é {{entry>denso(subespaço);denso}} se, para todo aberto $A \neq \emptyset$, temos que $D \cap A \neq \emptyset$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\mathbb Q$ é denso em $\mathbb R$.

**~~#~~** Sejam $X$ espaço topológico, $\mathcal B$ base para $X$ e $D \subset X$. Mostre que $D$ é denso se, e somente se, para todo $B \in \mathcal B$ não vazio temos que $D \cap B \neq \emptyset$. 

**~~#~~** Dê um exemplo de um espaço topológico $(X, \tau)$ tal que existam densos $A$ e $B$ tais que $A \cap B = \emptyset$ (ou seja, intersecção de densos não necessariamente é densa).<wrap help>[[solucao:densointerdenso!= denso|Solução]]</wrap>


**~~#~~** Considere $(X, \tau)$ com a {{entry>topologia/discreta; topologia discreta}} (isto é todo subconjunto de $X$ é aberto - mostre que isso é uma topologia de fato). Mostre que o único denso de $X$ é o próprio $X$.

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico e seja $Y \subset X$ denso. Mostre que, se $D \subset Y$ é denso em $Y$, então $D$ é denso em $X$.
 
**~~#~~** Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos, sendo $Y$ de Hausdorff. Seja $D \subset X$ denso. Sejam $f: X \rightarrow Y$ e $g: X \rightarrow Y$ funções contínuas. Mostre que se $f(x) = g(x)$ para cada $x \in D$, então $f = g$. <wrap help>[[solucao:exerc.5- densos|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é {{entry>espaço/separável; separável}} se existe $D \subset X$ enumerável e denso.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $f: X \rightarrow Y$ função contínua. Se $X$ é separável, mostre que $f[X]$ é separável.<wrap tip>[[solucao:imagemseparavel|Solução]]</wrap>
Topologia e conjuntos em exercícios

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