Topologia e conjuntos em exercícios

===== Lema do $\Delta$-sistema =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:Enumerabilidade|lista de enumerabilidade]] e da [[lista:BoaOrdem|lista de boa ordem]].
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Dizemos que $\mathcal F$ forma um {{entry>$\Delta$-sistema}} de raiz $\Delta$ se, para todo $F, G \in \mathcal F$ distintos, temos que $F \cap G = \Delta$. 
</WRAP>


**~~#~~** Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Mostre que são equivalentes:<wrap help>[[Solucao:fDeltaEquivalencia|Solução]]</wrap>
    - $\mathcal F$ forma um $\Delta$-sistema.
    - Dados $A, B \in \mathcal F$ distintos, se $a \in A \cap B$, então $a \in F$ para todo $F \in \mathcal F$. 

**~~#~~** Seja $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos. Mostre que existem $n \in \omega$ e $\mathcal F' \subset \mathcal F$ não enumerável tais que $|F| = n$ para todo $F \in \mathcal F'$. <wrap help>[[Solucao:fExisteNaoEnumeravel|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $A \subset \omega_1$ enumerável. Mostre que existe $\gamma \in \omega_1$ tal que, para todo $a \in A$ $a < \gamma$. <wrap tip>[[dica:enumeravelEhLimitado|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:aMenorGama|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $\{F_\xi: \xi \in \omega_1\}$ família de conjuntos finitos. Suponha que não exista $a$ tal que $\{\xi: a \in F_\xi\}$ seja não enumerável. Mostre que, para cada $a$ existe $\gamma$ tal que, para todo $\eta \geq \gamma$ temos que $a \notin F_\eta$. <wrap help>[[Solucao:aXiMenorGama|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $\{F_\xi: \xi \in \omega_1\}$ família de conjuntos finitos. Suponha que não exista $a$ tal que $\{\xi: a \in F_\xi\}$ seja não enumerável. Mostre que, para cada $\xi$ existe $\gamma$ tal que $F_\xi \cap F_\eta = \emptyset$ para todo $\eta \geq \gamma$. <wrap help>[[Solucao:aXiEmptySet|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre o {{entry>Lema/$\Delta$-sistema; Lema do $\Delta$-sistema}}: Seja $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos. Então existe $\mathcal F' \subset \mathcal F$ não enumerável que forma um $\Delta$-sistema. <wrap tip>[[dica:lemaDeltaSistema|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:lemaDeltaSistemaRima|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que não vale a seguinte versão do lema do $\Delta$-sistema: Seja $\mathcal F$ uma família enumerável infinita de conjuntos finitos. Então existe uma subfamília $\mathcal F' \subset \mathcal F$ infinita que forma um $\Delta$-sistema. <wrap tip>[[dica:DeltaEnum|Dica]]</wrap>
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