Topologia e conjuntos em exercícios

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico de Hausdorff. Dizemos que $cX$ é uma {{entry>compactificação}} de $X$ se $cX$ é de Hausdorff, $\overline X = cX$ e $cX$ é compacto.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c \mathbb R \setminus \mathbb R$ é unitário.<wrap tip>[[dica:usarAlexandroff|Dica]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que a compactificação do exercício anterior é homeomorfa ao conjunto $\{(x, y) \in \mathbb R^2: x^2 + y^2 = 1\}$. 

**~~#~~** Mostre que existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c\mathbb R \setminus \mathbb R$ tem exatamente dois pontos.

**~~#~~** Mostre que a compactificação obtida no exercício anterior é homeomorfa a $[0, 1]$.

**~~#~~** Seja $c\mathbb R$ uma compactificação para $\mathbb R$. Seja $x \in c \mathbb R \smallsetminus \mathbb R$. Seja $A$ um aberto tal que $x \in A$. Mostre que $A \cap \mathbb R$ é ilimitado em $\mathbb R$.

**~~#~~** Vamos mostrar que não existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c\mathbb R \setminus \mathbb R$ tem exatamente $3$ pontos.

**~~#.#~~** Suponha que exista compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c\mathbb R \setminus \mathbb R = \{a, b, c\}$ com $a, b, c$ distintos. Mostre que existem $A, B, C$ abertos disjuntos tais que $a \in A$, $b \in B$ e $c \in C$.

**~~#.#~~** Mostre que $c \mathbb R \setminus (A \cup B \cup C)$ é um compacto contido em $\mathbb R$.

**~~#.#~~** Mostre que existe um intervalo fechado $[\alpha, \beta]$ tal que $c \mathbb R \setminus (A \cup B \cup C) \subset [\alpha, \beta]$.

**~~#.#~~** Mostre que pelo menos dois dos conjuntos $A, B, C$ são ilimitados em $]\beta, +\infty[$ ou pelo menos dois deles são ilimitados em $]-\infty, \alpha[$. 

**~~#.#~~** Mostre que $]\beta, +\infty[$ ou $]-\infty, \alpha[$ podem ser escritos como união de dois abertos disjuntos.

**~~#.#~~** Note que o último item é uma contradição. <wrap tip>[[dica:contConex|Dica]]</wrap>
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