Topologia e conjuntos em exercícios

<WRAP info>
Dado $X$ ordenado por $\leq$, $A \subset X$ é cofinal em $X$ se, para todo $x \in X$, existe $a \in A$ tal que $x \leq a$.
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<WRAP info>
Seja $X$ ordenado, a cofinalidade de $X$ é o menor cardinal $k$ tal que existe $A \subset X$ com $A$ confinal em $X$ e $|A| = k$. Denotamos por $cf(X) = k$. 
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**~~#~~** Mostre que $cf(\mathbb R) = \aleph_0$. <wrap help>[[Solucao:cofinalidade1|Solução]]</wrap>

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Dado $X$ um conjunto ordenado e $k$ cardinal, $f: k \longrightarrow X$ é uma função cofinal se sua imagem é cofinal em $X$
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**~~#~~** Note que $cf(X) = k$ se, e só se, $k$ é o menor cardinal tal que essa função existe. 

**~~#~~** Seja $\alpha$ um ordinal, mostre que $cf(\alpha) = k$ se, e somente se, existe $f: k \longrightarrow \alpha$ crescente e cofinal. 

**~~#~~** Mostre que: 

**~~#.#~~** Se $\alpha = \beta +1, cf(\alpha) = 1$ .

**~~#.#~~** $cf(\aleph_1) = \aleph_1$. 

**~~#.#~~** $cf(\aleph_\omega) = \aleph_0$. <wrap help>[[Solucao:cofinalidade6|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que dado $\kappa$ cardinal regular e $A \subset \kappa$, $A$ é ilimitado se, e somente se, $|A|. = \kappa$ <wrap tip>[[Dica:confinalidica|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:cofinalidade5|Solução]]</wrap>
Topologia e conjuntos em exercícios

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