Topologia e conjuntos em exercícios

Essa página está em modo somente de leitura. Você pode visualizar a fonte, mas não alterá-la. Informe-se com o administrador do Wiki, caso você ache que isso está incorreto.

===== Coberturas por círculos =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:metricosCompletos| lista de métricos completos]] e da [[lista:boaOrdem|lista de boa ordem]]. 
</WRAP>


**~~#~~** Mostre que não existe uma família $\mathcal F$ de círculos disjuntos em $\mathbb R^2$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^2$.<wrap help>[[Solucao:CoberturaR2|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que não existe uma família $\mathcal F$ de esferas disjuntas em $\mathbb R^3$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^3$.<wrap help>[[Solucao:CoberturaR3|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que existe uma família $\mathcal F$ de círculos disjuntos em $\mathbb R^2 \smallsetminus \{(0, 0)\}$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F}C = \mathbb R^2 \smallsetminus \{(0, 0)\}$.<wrap help>[[Solucao:CoberturaQ2|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que, para cada ponto $p \in \mathbb R^3$, existem $\mathfrak c$ planos que contém $p$.<wrap help>[[Solucao:cPlanos|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que dado $p \in \pi$, $\pi$ plano, existem $\mathfrak c$ círculos contém $p$ e contidos em $\pi$. <wrap help>[[Solucao:cCirculos|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $\mathcal F$ uma família de círculos em $\mathbb R^3$ com $|\mathcal F| < \mathfrak c$ e seja $p \notin \bigcup_{C \in \mathcal F} C$.

**~~#.#~~** Mostre que existe $\pi$ plano tal que $p \in \pi$ e $C \not \subset \pi$ para todo $C \in \mathcal F$. <wrap help>[[Solucao:MaisPlanosMenosCirculos|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que se $\pi$ é um plano tal que $C \not \subset \pi$ para todo $C \in \mathcal F$, então existe um círculo $D$ tal que $p \in D \subset \pi$ e $D \cap C = \emptyset$ para todo $C \in \mathcal F$.<wrap help>[[Solucao:CirculoD|Solução]]</wrap> 

**~~#.#~~** Mostre que existe uma família $\mathcal F$ de círculos disjuntos em $\mathbb R^3$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^3$. <wrap help>[[Solucao:CoberturaFR3|Solução]]</wrap>

<WRAP tip>
Esta lista foi baseada no livro [[http://books.google.com.br/books/about/Set_Theory_for_the_Working_Mathematician.html?id=tTEaMFvzhDAC&redir_esc=y|Set Theory for the Working Mathematician]] de Krzysztof Ciesielski.
</WRAP>

Topologia e conjuntos em exercícios

Ferramentas do usuário

Ferramentas do site

Ferramentas da página