Topologia e conjuntos em exercícios

===== CH e $\mathbb R^2$ =====

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Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:BoaOrdem|lista de boa ordem]].
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{{entry>CH}} ({{entry>hipótese/contínuo; hipótese do contínuo}}) é a afirmação: existe $\preceq$ uma boa ordem sobre $\mathbb R$ tal que, para todo $x \in \mathbb R$, $\{y \in \mathbb R: y \preceq x\}$ é enumerável.
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Considere $X \subset \mathbb R^2$. Denotamos, dado $y \in \mathbb R$, $H(A, y) = \{x \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. Analogamente, dado $y \in \mathbb R$, denotamos por $V(A, x) = \{y \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. 
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**~~#~~** Suponha CH. Então existe um conjunto $A \subset \mathbb R^2$ tal que $H(A, y)$ é enumerável para todo $y \in \mathbb R$ e $V(\mathbb R^2 \smallsetminus A, x)$ é enumerável para todo $x \in X$. <wrap tip>[[dica:CHR2conjunto|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:CHSET|Solução]]</wrap>


**~~#~~** Suponha que existe $A \subset \mathbb R^2$ tal que $H(A, y)$ é enumerável para todo $y \in \mathbb R$ e $V(\mathbb R^2 \smallsetminus A, x)$ é enumerável para todo $x \in \mathbb R$. Mostre que vale CH.<wrap tip>[[dica:voltaCHconjunto|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:SETCH|Solução]]</wrap>

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Use no próximo exercício que se $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ é tal que $\{x: f(x) \neq 0\}$ é enumerável, então $\int_0^1 f(x)dx = 0$ e que se $\{x: f(x) \neq 1\}$ é enumerável, então $\int_0^1 f(x) = 1$. 
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**~~#~~** Este exercício é para mostrar um caso patológico para o Teorema de Fubini. 

**~~#.#~~** (CH) Mostre que existe $f: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ tal que:

a) $f_x: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ dada por $f_x(y) = f(x, y)$ é tal que $\int_0^1 f_x(y)dy = 1$.

b) $f_y: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ dada por $f_y(x) = f(x, y)$ é tal que $\int_0^1 f_y(x)dx = 0$.

**~~#.#~~** Note que, assim, temos que 
$$\int_0^1\int_0^1 f(x, y) dx dy = 0 \text{ e } \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) dy dx = 1$$

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Esta lista foi baseada no livro [[http://books.google.com.br/books/about/Set_Theory_for_the_Working_Mathematician.html?id=tTEaMFvzhDAC&redir_esc=y|Set Theory for the Working Mathematician]] de Krzysztof Ciesielski.
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