Topologia e conjuntos em exercícios

===== Conjunto de Cantor =====

<WRAP tip>
Provavelmente é melhor você já ter feito a lista de [[lista:compactos|compactos]] e a de [[lista:produtosInfinitos|produtos infinitos]].
</WRAP>

**~~#~~** Considere $K_\emptyset = [0, 1]$. Suponha definido $K_s = [a, b]$ para $s \in 2^{<\omega}$. Defina $K_{s \smallfrown 0} = [a, \frac{b - a}{3}]$ e $[b - \frac{b - a}{3}, b]$. 

**~~#.#~~** Faça um desenho do que é cada $K_s$.

**~~#.#~~** Calcule o comprimento de $K_s$ em função do comprimento de $|s|$ (comprimento de $s$).

**~~#.#~~** Note que se $s$ e $t$ tem mesmo comprimento e são distintos, $K_s \cap K_t = \emptyset$. 

**~~#.#~~** Mostre que $K_s \subset K_t$ se, e somente se, $s \supset t$.

**~~#.#~~** Para cada $n \in \omega$, seja $K^n = \bigcup\{K_s: |s| = n\}$. Note que cada $K^n$ é compacto.

**~~#.#~~** Note que $K^{n + 1} \subset K^n$ para todo $n \in \omega$. 

**~~#.#~~** Defina $C = \bigcap_{n \in \omega} K^n$. Note que tal conjunto é compacto e não vazio. Tal conjunto é conhecido como {{entry>conjunto de Cantor}}

**~~#~~** Adote as notações dos exercícios anteriores. Vamos apresentar mais algumas propriedades de $C$.

**~~#.#~~** Seja $f \in 2^{\omega}$. Note que $f \upharpoonright n \in 2^{<\omega}$.

**~~#.#~~** Note que se $n, m \in \omega$, com $n < m$, então $K_{f \upharpoonright m} \subset K_{f \upharpoonright n}$. 

**~~#.#~~** Fixe $f \in 2^{\omega}$. Mostre que $\bigcap_{n \in \omega} K_{f \upharpoonright n}$ é um subconjunto unitário de $C$.

**~~#.#~~** Considere $\varphi: 2^\omega \to C$ dada por $\varphi(f) = x$ onde $\{x\}$ é a intersecção dada no item anterior.

**~~#.#~~** Mostre que $\varphi$ é injetora.

**~~#.#~~** Mostre que $\varphi$ é bijetora.

**~~#.#~~** Mostre que $\varphi$ é contínua.

**~~#.#~~** Conclua que $2^\omega$ é $C$ são homeomorfos.
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