Topologia e conjuntos em exercícios

===== Boa ordem =====

<WRAP info>
Dada $\leq$ uma ordem sobre $X$, dizemos que $\leq$ é uma {{entry>boa ordem}} se, dado qualquer $A \subset X$ não vazio, existe $a \in A$ tal que $a = \min A$, isto é, $a \leq b$ para todo $b \in A$. 
</WRAP>


**~~#~~** Mostre que toda boa ordem é total (isto é, dados dois elementos eles são comparáveis).<wrap help>[[Solucao:boaTotal|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que todo conjunto limitado superiormente num conjunto bem ordenado admite supremo.<wrap help>[[Solucao:admitesupremo|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que todo subconjunto de um conjunto bem ordenado é bem ordenado (pela restrição da ordem original).<wrap help>[[Solucao:subBoaOrdem|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Seja $(X, \leq)$ um conjunto totalmente ordenado. Mostre que são equivalentes:<wrap help>[[Solucao:BoaOrdemSequencia|Solução]]</wrap>
  - $X$ é bem ordenado
  - não existe uma sequência infinita estritamente decrescente de elementos de $X$. Isto é, não existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos de $X$ tal que $x_{n + 1} < x_n$ para todo $n$. 

**~~#~~** Considere o conjunto $\omega \cup \{\omega\}$. Estenda a ordem de $\omega$ para esse novo conjunto fazendo com que $n < \omega$ para todo $n \in \omega$. Mostre que isso é uma boa ordem sobre esse conjunto.

<WRAP info>
**Axioma** ({{entry>Princípio da boa ordem}}): Todo conjunto $X$ admite uma boa ordem.
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**~~#~~** Mostre que todo espaço vetorial tem base. Sugestão: Considere $\leq$ boa ordem sobre os elementos de $V$. Defina $B = \{v \in V: v \notin [\{w \in V: w < v\}]\}$, onde $[X]$ é o espaço gerado pelo conjunto $X$. <wrap help>[[Solucao:todoEvTemBase|Solução]]</wrap>

<WRAP info> 
Chamamos de {{entry>$\omega_1$}} um conjunto bem ordenado não enumerável tal que, para todo $\alpha \in \omega_1$, $\{\beta \in \omega_1: \beta < \alpha\}$ é enumerável (depois vamos ver que só existe um $\omega_1$ a menos de isomorfismos). 
</WRAP>

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que existe um $\omega_1$: <wrap help>[[Solucao:existenciaOmega_1|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Seja $X$ não enumerável. Considere $\leq$ uma boa ordem sobre $X$.

**~~#.#~~** Para cada $x \in X$, defina $A_x = \{y \in X: y < x\}$ (usamos $y < x$ para indicar $y \leq x$ e $y \neq x$).

**~~#.#~~** Suponha que não exista $x \in X$ tal que $A_x$ seja não enumerável. Mostre que $X$ é um $\omega_1$.

**~~#.#~~** Suponha que exista $x \in X$ tal que $A_x$ seja não enumerável. Considere $x_0$ o menor com tal propriedade (use a boa ordem). Mostre que $A_{x_0}$ é um $\omega_1$.

**~~#.#~~** Conclua que existe um $\omega_1$.

**~~#~~** Seja $A$ um conjunto. Mostre que existe $I$ bem ordenado tal que $A = \{a_\xi: \xi \in I\}$, $a_\xi \neq a_\eta$ se $\xi \neq \eta$ e, para todo $\xi \in I$, $|\{a_\eta: \eta < \xi\}| < |A|$.<wrap tip>[[Dica:otimaOrdem|Dica]]</wrap>
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