Topologia e conjuntos em exercícios

===== Jogo de Banach-Mazur e conjuntos de Cantor =====

<WRAP tip>
 Provavelmente é melhor você ter feito essas listas antes: [[lista:bmbaire| lista de jogos de Banach-Mazur e espaços de Baire]] e [[lista:cantor|lista de conjuntos de cantor]].
</WRAP>


<WRAP info> Este é um roteiro para provar que todo espaço métrico sem pontos isolados onde o  Jogador II tem estratégia vencedora no Jogo de Banach-Mazur contém um subespaço homeomorfo ao conjunto de Cantor. </WRAP>


**~~#~~** Considere um espaço \((X,d)\) satisfazendo as propriedades definidas acima, fixe $\sigma$ estrategia vencedora do  Jogador II no jogo de Banach-Mazur em $X$, construiremos indutivamente uma familia $\mathcal{U}=\{U_s : s\in 2^{<\omega}\}$ em $X$ satisfazendo:
  * $U_{s}$ é um aberto nao vazio;
  * $diam(U_{s})\leq\frac{d}{2^{|s|}}$;
  * Para $s\in 2^{<\omega}$ e $i\in\{0,1\}$, $U_{s\frown i}\subseteq \sigma(\langle U_{\emptyset},...,U_{s}\rangle)$ tais que: 
            * $U_{s\frown 0}\cap U_{s\frown 1}=\emptyset$ ;
            * $diam(U_{s\frown i})\leq \frac{d}{2^{|s|+1}} $.     

**~~#.#~~** Considere um aberto \(U_{\emptyset}\) tal que \(diam(U_{\emptyset}) = d\).

**~~#.#~~** Mostre que existem dois abertos não-vazios e disjuntos \(U_{(0)}\), \(U_{(1)} \subseteq \sigma(\langle U_{\emptyset}\rangle)\) tais que \(diam(U_{(1)}), diam(U_{(0)}) \leqslant \dfrac{d}{2}\).<wrap tip>[[dica 0:|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Dada uma sequência \(s \in 2^{<\omega}\) e um aberto \(U_s\) já definido, encontre dois abertos não vazios disjuntos $U_{s \frown 0},U_{s \frown 1}\subseteq \sigma (\langle U_{\emptyset},...,U_{s}\rangle)$ com $diam(U_{s \frown 0}),diam(U_{s \frown 1})\leq \frac{d}{2^{|s|+1}}$.<wrap tip>[[dica:|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Defina \(U_r\) com \(r \in 2^{\omega}\) como \(U_r = \bigcap\limits_{k \in \omega} U_{r \upharpoonright k}\) e note que \(U_r\) é unitário. Vamos chamar esse ponto $x_{r}$.<wrap tip>[[dica2:|Dica]]</wrap>

**~~#~~** Defina \(f: 2^\omega \longrightarrow X\) com \(f(r) = x_r\).

**~~#.#~~** Mostre que \(f\) é injetora.

**~~#.#~~** Mostre que \(f\) é contínua.

**~~#.#~~** Conclua que \(X\) contém um subconjunto homeomorfo ao conjunto do Cantor.


<WRAP tip>
Para essa parte, você provavelmente vai querer conhecer a lista de [[lista:berstein|conjuntos de Bernstein ]]. 
</WRAP>


**~~#~~** Seja $X\subseteq\mathbb{R}$ um conjunto de Bernstein. Mostre que o Jogador II não tem estrategia vencedora no jogo de Banach-Mazur sobre $X$.
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