Topologia e conjuntos em exercícios

===== Conjuntos de Bernstein =====
<WRAP info>
Dizemos que $X \subset \mathbb R$ é um {{entry>conjunto de Bernstein}} se $X$ é não enumerável e, para todo $F \subset \mathbb R$ fechado e não enumerável, temos que $F \cap X \neq \emptyset$ e $F \cap (\mathbb R \setminus X) \neq \emptyset$. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $A \subset \mathbb R$ não enumerável. 

**~~#.#~~** Mostre que existe $x \in \mathbb R$ tal que $]-\infty, x[ \cap A$ e $]x, +\infty[$ são ambos não enumeráveis. <wrap tip>[[dica:divideEmDois|Dica]]</wrap> 

**~~#.#~~** Mostre que existem $a < b$ tais que $]-\infty, a] \cap A$ e $[b, +\infty[ \cap A$ são ambos não enumeráveis.


**~~#~~** Seja $F \subset \mathbb R$ fechado e não enumerável. 

**~~#.#~~** Mostre que existem $a < b$ tais que $[a, b] \cap F$ é não enumerável.

**~~#.#~~** Dado um intervalo $[a, b]$ tal que $[a, b] \cap F$ é não enumerável, mostre que existem $c < d$ tais que $[a, c] \cap F$ e $[d, b] \cap F$ são ambos não enumeráveis.

**~~#.#~~** Mostre que $F$ tem $\mathfrak c$ pontos.

**~~#~~** Fixe $\mathcal B$ uma base enumerável para $\mathbb R$. 

**~~#.#~~** Mostre que todo aberto é união enumerável de elementos de $\mathcal B$. 

**~~#.#~~** Mostre que existem, no máximo, $\mathfrak c$ fechados. <wrap help>[[solucao:nomaxcfechados|Solução]] </wrap>

**~~#.#~~** Exiba $\mathfrak c$ fechados não enumeráveis. <wrap help>[[solucao:cexemplosdefechados|Solução]] </wrap>

**~~#.#~~** Conclua que existem exatamente $\mathfrak c$ fechados não enumeráveis.

**~~#~~** Considere $(F_\xi)_{\xi < \mathfrak c}$ todos os subconjuntos fechados não enumeráveis de $\mathbb R$. 

**~~#.#~~** Para cada $\xi < \mathfrak c$, considere $x_\xi, y_\xi \in F_\xi$ distintos tais que $x_\xi, y_\xi \notin \{x_\alpha: \alpha < \xi\} \cup \{y_\alpha: \alpha < \xi\}$ (cuidado aqui para justificar porque existem tais pontos).

**~~#.#~~** Mostre que $X = \{x_\xi: \xi < \mathfrak c\}$ e $Y = \{y_\xi: \xi < \mathfrak c\}$ são conjuntos de Bernstein.  <wrap help>[[solucao:XeYsaobernstein|Solução]] </wrap>
Topologia e conjuntos em exercícios

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