Topologia e conjuntos em exercícios

===== Jogo de Baker =====

<WRAP info>
Seja $X \subset \mathbb R$ um conjunto não vazio. Considere o seguinte jogo entre Alice e Beto: Alice começa jogando $a_0 \in \mathbb R$, então Beto escolhe $b_0 \in \mathbb R$ com $b_0 > a_0$. Na rodada $n + 1$: 
  * Alice joga $a_{n + 1} \in \mathbb R$ de forma que $a_n < a_{n + 1} < b_n$;
  * Beto joga $b_{n + 1} \in \mathbb R$ de forma que $a_{n + 1} < b_{n + 1} < b_n$. 
Alice vence o jogo se $\lim\limits_{n \to \infty} a_n \in X$ e Beto vence caso contrário.
</WRAP>

**~~#~~** Note que o jogo está bem definido, no sentido que $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ sempre existe e é um número real.

**~~#~~** Mostre que se $X$ é enumerável, então Beto tem estratégia vencedora.

**~~#~~** Mostre que $\mathbb R$ é não enumerável (pois é, argumento bem esquisito).

<WRAP info>
Um subconjunto $P \subset \mathbb R$ é dito **perfeito** se é fechado e todo ponto seu é ponto de acumulação de $P$.
</WRAP>

**~~#~~** Suponha $X$ perfeito e não vazio.

**~~#.#~~** Suponha que $a \in X$ não é o máximo de $X$. Mostre que $b = \inf\{x \in X: x > a\}$ é ponto de acumulação de $[b, +\infty[ \cap X$.  

**~~#.#~~** Mostre que existe $a \in \mathbb R$ ponto de acumulação de $[a, +\infty[ \cap X$.

**~~#.#~~** Note que tal ponto $a$ é elemento de $X$.

**~~#.#~~** Suponha que $a \in X$ é tal que $a$ é ponto de acumulação de $[a, +\infty[ \cap X$. Dado $\varepsilon > 0$, mostre que existe $b \in ]a, a + \varepsilon[ \cap X$ tal que $b$ é ponto de acumulação de $[b, +\infty[ \cap X$.

**~~#~~** Suponha $X$ perfeito e não vazio. 

**~~#.#~~** Mostre que Alice consegue jogar uma sequência feita só de pontos de $X$.

**~~#.#~~** Mostre que se a sequência de todos os pontos de Alice forem pontos de $X$, então o limite desta sequência existe e pertence a $X$.

**~~#.#~~** Conclua que Alice tem estratégia vencedora no caso $X$ perfeito e não vazio.

**~~#~~** Melhore o resultado anterior e mostre que se $X$ contém um subconjunto perfeito, então Alice tem uma estratégia vencedora.

**~~#~~** Mostre que se $P \subset \mathbb R$ é perfeito e não vazio, então $P$ é não enumerável.

<WRAP tip>
Essa lista foi baseada neste artigo [[https://arxiv.org/abs/math/0606253]].
</WRAP>
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