Topologia e conjuntos em exercícios

===== Axiomas de separação =====

<WRAP tip>
Só a definição de topologia não garante uma "riqueza" de abertos (por exemplo, podemos ter sobre qualquer $X$ a topologia que só contém como abertos o espaço todo e $\emptyset$. Os axiomas nesta lista garantem a existência de determinados abertos.
</WRAP>

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>espaço/$T_0$; $T_0$}} se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existe um aberto $A$ tal que "$x \in A$ e $y \notin A$" ou "$x \notin A$ e $y \in A$".  
</WRAP>

**~~#~~** Dê um exemplo de espaço que seja $T_0$ e de um que não seja $T_0$.
 <wrap help>[[naoT0|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que todo subespaço de um espaço $T_0$ é um espaço $T_0$.<wrap help>[[solucao:subespaçot0|Solução]]</wrap>


<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>espaço/$T_1$;$T_1$}} se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existe um aberto $A$ tal que $x \in A$ e $y \notin A$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo espaço $T_1$ é $T_0$

**~~#~~** Dê um exemplo de um espaço $T_0$ que não seja $T_1$.<wrap help>[[T0naoT1|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que $(X, \tau)$ é $T_1$ se, e somente se, para cada $x \in X$, temos que $\{x\}$ é fechado.<wrap help>[[Solucao:pontofechado|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que todo espaço finito $T_1$ tem a topologia discreta.<wrap help>[[Solucao:finitodiscreto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que todo subespaço de um espaço $T_1$ é um espaço $T_1$.

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>espaço/$T_2$; $T_2$}} ou {{entry>espaço/Hausforff; espaço de Hausdorff}} se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $y \in B$.  
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo espaço de Hausdorff é $T_1$.

**~~#~~** Mostre que todo espaço métrico é de Hausdorff.<wrap help>[[Solucao:EspacMetric0 = haudorff|Solução]]</wrap>


**~~#~~** Mostre que todo subespaço de um espaço de Hausdorff é um espaço de Hausdorff.

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>espaço/$T_3$; $T_3$}} se, para todo $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tais que $x \notin F$, existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $F \subset B$. Dizemos que $X$ é um {{entry>espaço/regular; espaço regular}} se $X$ é $T_1$ e $T_3$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\mathbb R$ com a topologia usual é regular.

**~~#~~** Mostre que todo espaço regular é de Hausdorff. <wrap help>[[Solucao:regular=hausdorff|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que todo subespaço de um espaço regular é um espaço regular.

**~~#~~** Mostre que são equivalentes: <wrap help>[[Solucao:eqv1|Solução]]</wrap>
  - $X$ é $T_3$;
  - para todo $x \in X$ e todo $A$ aberto tal que $x \in A$ temos que existe $V$ aberto tal que $x \in V \subset \overline V \subset A$.

**~~#~~** Mostre que são equivalentes: 
  - $X$ é $T_3$;
  - todo $x \in X$ admite sistema fundamental de vizinhanças fechadas.

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>espaço/$T_4$; $T_4$}} se, para todo $F \subset X$ e $G \subset X$ fechados disjuntos, existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A$ e $G \subset B$. Dizemos que $X$ é um {{entry>espaço/normal; espaço normal}} se $X$ é $T_1$ e $T_4$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo espaço normal é regular. <wrap help>[[Solucao:normalehregular|Solução]]</wrap>
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