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Topologia e conjuntos em exercícios
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lista:aronszajn
===== Árvore de Aronszajn ===== $\def\dom{\text{dom}}$ <WRAP tip> Provavelmente você vai querer ter feito a lista de [[lista:Arvores|árvores]] antes desta. </WRAP> <WRAP info> Durante toda esta lista, $T$ denota uma árvore satisfazendo * $\emptyset \in T$; * cada $t \in T$ é uma função estritamente crescente em $\mathbb Q$; * se $t \in T$, então $\{t^\smallfrown q: q \in \mathbb Q$ e $\forall x \in \dom(t) \ q > t(x)\} \subset T$. Em $T$, dizemos que $t \leq s$ se $t \subset s$. </WRAP> **~~#~~** Note que se $T$ é uma árvore como acima, então $h(T) \geq \omega$. **~~#~~** Note que se $R \subset T$ é um ramo, então $\bigcup_{t \in R} t$ é uma função de um ordinal $\alpha$ em $\mathbb Q$ estritamente crescente. **~~#~~** Mostre que $T$ não admite ramos não enumeráveis. **~~#~~** Suponha $T$ uma árvore como acima, tal que $h(T) = \omega$. **~~#.#~~** Note que $T$ é enumerável. **~~#.#~~** Note que $T$ tem uma quantidade não enumerável de ramos. **~~#.#~~** Note que alguns ramos de $T$ não são estendíveis (isto é, não há como acrescentar um elemento acima dos elementos de um ramo $R$ de forma que a função formada pela união dos elementos de $R$ ainda fique estritamente crescente). **~~#.#~~** Para cada $q \in \mathbb Q$, mostre que existe um ramo $R$ de forma que $\bigcup R \cup \{(\omega, q)\}$ é uma função estritamente crescente. **~~#.#~~** Para cada $q \in \mathbb Q$ encontre $R_q$ ramo como no item anterior. Note que $T \cup \{R_q: q \in \mathbb Q\}$ é uma árvore de altura $\omega + 1$ enumerável. **~~#.#~~** A árvore construída no item anterior não satisfaz as condições impostas acima. Você consegue arrumar? **~~#~~** A ideia neste exercício é melhorar o exercício anterior. Comece da mesma maneira, com uma $T$ tal que $h(T) = \omega$. Para cada $t \in T$, seja $q_t = t(n)$, onde $n$ é último elemento do domínio de $t$. **~~#.#~~** Para cada $t \in T$ e cada $q \in \mathbb Q$ tal que $q_t < q$, mostre que existe um ramo $R$ tal que $t \in R$ e $\bigcup R \cup \{(\omega, q)\}$ é estritamente crescente. **~~#.#~~** Construa um novo nível $N$ para a árvore $T$ tal que: * $N$ é enumerável; * todo elemento de $N$ tem altura $\omega$; * se $R$ é um ramo em $T \cup N$, então $\bigcup R$ é uma função estritamente crescente em $\mathbb Q$; * dados $t \in T$ e $q \in \mathbb Q$ tais que $q_t < q$, existe $n \in N$ tal que $t \leq n$ e $n(\omega) = q$. <WRAP info> Dizemos que uma árvore $T$ é {{entry>bem podada}} se, dados $t \in T$, e $\alpha$ ordinal tal que $h(t) < \alpha < h(T)$, temos que existe $s \in T$ tal que $h(s) = \alpha$ e $t \leq s$. </WRAP> <WRAP tip> O próximo exercício é imediato para quem tem experiência com [[lista:confinalidade|cofinalidade]]. </WRAP> **~~#~~** Seja $\alpha$ ordinal limite tal que $\omega < \alpha < \omega_1$. Mostre que existe $f: \omega \to \alpha$ estritamente crescente tal que $\sup\{f(n): n \in \omega\} = \alpha$. **~~#~~** Suponha $T$ uma árvore enumerável tal que $\omega < h(T) < \omega_1$ que satisfaça as condições acima e é bem podada. **~~#.#~~** Note que, como $T$ satisfaz as condições acima, $h(T)$ é limite. **~~#.#~~** Mostre que podemos estender $T$ para uma árvore $T'$ de altura estritamente maior de forma que $T'$ é enumerável, satisfaz as condições acima e é bem podada. <WRAP info> Chamamos de uma {{entry>árvore de Aronszajn}} uma árvore de altura $\omega_1$, sem ramos não enumeráveis e sem níveis não enumeráveis. </WRAP> **~~#~~** Mostre que existe uma árvore de Aronszajn. **~~#~~** Compare o exercício anterior com o enunciado do [[lista:Arvores|Lema de König]]. Note que isso atesta que uma certa generalização do lema é impossível.
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· Última modificação: 2021/04/22 17:26 por
aurichi
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