Topologia e conjuntos em exercícios

===== Unicidade =====

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<WRAP tip>
A gente fez um abuso até o momento, se dizemos que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, implicitamente está dito também que $\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq c$, se $b \neq c$. Isso de fato ocorre, é o que vamos ver agora.
</WRAP>


**Proposição** Fixe $a \in \mathbb R$ e $f$ uma função. Se $L, M$ são números reais tais que ambos satisfazem a definição de $\lim\limits_{x \to a} f(x)$, então $L = M$. 


**Dem.:** Suponha que $L$ e $M$ sejam o limite de $f$ no ponto $a$. Vamos mostrar que $L = M$.

Considere $\Delta = |L - M|$. Como $L$ é limite, existe $\delta_1 > 0$ tal que, para todo $x$,
   
\[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - L| < \frac{\Delta}{2}\]
  
Analogamente, existe $\delta_2 > 0$ tal que, para todo $x$,
  
\[0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - M| < \frac{\Delta}{2}\]  

Seja $x$ tal que $|x - a| < \delta_1, \delta_2$. Temos:
\[\begin{array}{rcl}
      \Delta & = &  |L - M|\\
             & = & |L - f(x) + f(x) - M|\\
             & \leq & |f(x) - L| + |f(x) - M|\\
             & < & \Delta 
\end{array}\]
 
contradição.

<WRAP tip>
O resultado anterior deve ser lido como "se o limite existe, ele é único".
</WRAP>

<WRAP important>
Cuidado: a gente não está dizendo que o limite existe - apenas que se existir algum valor que satisfaça a definição, só vai existir um.
</WRAP>

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