Topologia e conjuntos em exercícios

======== Raízes ======== 

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<WRAP info>
Dado $n \in \mathbb N_{>1}$, denotamos por $\sqrt[n]{x}$ a inversa de $g(y) = y^n$ em $[0, + \infty[$.
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<WRAP tip>
Note que $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$. 
</WRAP>

**Proposição** Dado $n > 1$, temos que a função $f: [0, + \infty[$ dada por $f(x) = \sqrt[n]{x}$ é contínua. 

**Dem.:**  Note que $f(x) = g^{-1}(x)$, onde $g: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ é dada por $g(y) = y^n$. Assim, como $g$ é estritamente crescente, concluímos pelos resultados [[limites:inversas|anteriores]] que $f$ é contínua em $[0, +\infty[$. <wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Uma vez que já temos a continuidade, vários resultados vêm de brinde. Por exemplo, o seguinte.
</WRAP>

**Corolário** Para todo $n > 1$, $a \in \mathbb R$ e $f: \mathbb R \to \mathbb R$ contínua, temos:
  * $\lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}$, se $a \geq 0$;
  * $\lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{f(x)}$, se $f(a) \geq 0$;
  * $\lim\limits_{x \to a} f(\sqrt[n]{x}) = f(\sqrt[n]{a})$, se $a \geq 0$. 


**Proposição** $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$

**Dem.:** Seja $L > 0$. Considere $M = L^n$. Note que, para qualquer $x > M$, $\sqrt[n]{x} > \sqrt[n]{L^n} = L$ (pois $\sqrt[n]{\cdot}$ é estritamente crescente). <wrap right>$\square$</wrap> 



**Exemplo**
\[\begin{array}{rcl}
\lim\limits_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{x}} & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}\\
& = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x \sqrt{x}}{x}\\
& = & \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}\\
& = & +\infty
\end{array}\]

**Exemplo**
\[\begin{array}{rcl}
\lim\limits_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^2 - 2x}}{\sqrt{x}} & = & \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x(x - 2)}}{\sqrt{x}}\\
& = & \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x}\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x}}\\
& = & +\infty
\end{array}\]
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