Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\dom{\text{dom}}$
======== Máximos e mínimos ========

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<WRAP info>
Seja $f$ uma função. Dizemos que $M$ é o **máximo** de $f$ se $M = \max\{f(x): x \in \dom(f)\}$. Se $M$ é o máximo e $x$ é tal que $f(x) = M$, chamamos $x$ de **maximizador**. Analogamente, definimos **mínimo** e **minimizador**.
</WRAP>

**Exemplo** Considere $f: [-1, 2] \to \mathbb R$ dada por $f(x) = x^2$. Note que $4$ é o máximo de $f$ e $2$ é um maximizador.

**Exemplo** Note que a função $f(x) = \frac{1}{x}$ definida em $\mathbb R_{\neq 0}$ não admite máximo (para qualquer valor que você considera, existe $x$ tal que $\frac{1}{x}$ é maior).

**~~#~~** Note que, se $f$ admite máximo, ele é único. Dê um exemplo de uma função que tenha mais de um maximizador.

<WRAP tip>
O próximo resultado nos garante a existência de máximo para diversas funções. Mas ele não diz como encontrá-lo. Veremos mais sobre isso depois.
</WRAP>

**Teorema** Seja $f: [a, b] \to \mathbb R$ uma função contínua. Então existem $x_1, x_2 \in [a, b]$ tais que $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ para todo $x \in [a, b]$. Ou seja, $f$ admite máximo e mínimo.
 
**Dem.:** Vamos provar a existência do máximo, deixando o mínimo como exercício.

Nesta demonstração vamos ter que usar a seguinte definição: dados conjuntos $A$ e $B$ (ambos subconjuntos do domínio de $f$), dizemos que $A$ vence $B$, se para todo $b \in B$, existe $a \in A$ tal que $f(a) \geq f(b)$ (se você sabe o que é supremo, note que isso nada mais é que dizer que o supremo dos valores calculados em $A$ é maior ou igual ao dos valores calculados em $B$). A primeira coisa a se notar é que sempre um dos conjuntos vence (talvez até ambos vençam).

Defina $a_0 = a$ e $b_0 = b$. Se algum deles é o maximizador de $f$, terminamos. Considere $c = \frac{a_0 + b_0}{2}$. Se $f(c)$ é máximo, terminamos. Caso contrário, temos dois casos:
  * se $[a_0, c_0]$ vence $[c_0, b_0]$, defina $a_1 = a_0$ e $b_1 = c_0$;
  * caso contrário (ou seja, pelo comentário acima, $[c_0, b_0]$ vence), defina $a_1 = c_1$ e $b_1 = b_0$.
Considere agora $c = \frac{a_1 + b_1}{2}$. Novamente, se $c$ for maximizador, terminamos. Caso contrário fazemos dois casos novamente:
  * se $[a_1, c_1]$ vence $[c_1, b_1]$, defina $a_2 = a_1$ e $b_2 = c_1$;
  * caso contrário (ou seja, pelo comentário acima, $[c_1, b_1]$ vence), defina $a_2 = c_1$ e $b_2 = b_1$.
A ideia é sempre definir o próximo intervalo como o vencedor. Repita o processo para todo $n \in \mathbb N$. Defina $k$ como sendo o ponto na intersecção $\bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n, b_n]$ (usamos a propriedade dos [[limites:valorIntermediario|intervalos encaixantes]]). Vamos mostrar que $k$ é maximizador. Antes disso, convém notar o seguinte: se $A$ vence $B$ e $B$ vence $C$, então $A$ vence $C$. Além disso, se $A \subset B$, automaticamente $B$ vence $A$. Combinando essas duas coisas temos que para todo $n > 1$, $[a_n, b_n]$ vence $[a, b] \setminus [a_n, b_n]$.

Suponha que $k$ não é o maximizador. Então existe $x_0 \in [a, b]$ tal que $f(x_0) > f(k)$. Considere
\[g(x) = f(x) - f(x_0)\]
Note que, então, $g$ é uma função contínua e $g(k) < 0$. Assim, [[limites:preservacaoSinal|existe]] $I$ intervalo aberto tal que $k \in I$ e $g$ é negativa em todos os pontos de $I$. Sejam $a_n$ e $b_n$ tais que $[a_n, b_n] \subset I$. Pelo comentário acima, $[a_n, b_n]$ vence $[a, b] \setminus [a_n, b_n]$. Mas note que, como $g$ é negativa em $[a_n, b_n]$, para todo valor $x \in [a_n, b_n]$ é tal que $f(x) < f(x_0)$, contradição. <wrap right>$\square$</wrap>

**~~#~~** Seja $f: [a, b] \to \mathbb R$ contínua. Mostre que $f$ é limitada.
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