Topologia e conjuntos em exercícios

======== Limites laterais ========

{{ youtube>ixE4mKCtNxE?small}}

<WRAP tip>
Pense no fato de $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ como "$f(x)$ se aproxima de $L$ conforme $x$ se aproxima de $a$". 
</WRAP>

Note que $x$ pode se aproximar de $a$ por dois caminhos: 
  * tomando valores em $]a, +\infty[$ (que chamamos de se aproximar por cima);
  * como em $]-\infty, a[$ (que chamamos de se aproximar por baixo). 

O propósito das próximas definições é tentar destacar esses caminhos.


<WRAP info>
Seja $f: A \to \mathbb R$ ($A \subset \mathbb R)$. Dizemos que $f$ tende a $L$ quando $x$ tende a $a$ pela direita se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que, para qualquer $x \in A$ com $x > a$ temos:
\[0 < x - a < \delta \Rightarrow |L - f(x)| < \varepsilon\]

Neste caso, denotamos 
\[\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L\]
</WRAP>

Definimos o "tender pela esquerda" de maneira análoga com a notação
\[\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L\]

**~~#~~** Escreva a definição formal de limite pela esquerda.

<WRAP info>
Chamamos tais limites de limites laterais.
</WRAP>

**Proposição** Seja $f: D \setminus \{a\} \to \mathbb R$ onde $D$ é um intervalo aberto contendo $a$. Temos que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe se, e somente se, existem $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)$ e $\lim\limits_{x \to a+^-} f(x)$ e ambos são iguais.  

**Dem.:** Suponha que o limite existe e seja igual a $L$. Vamos provar que o limite pela direita existe e é igual a $L$ (o outro fica como exercício). Seja $\varepsilon > 0$. Pela definição de limite, existe $\delta > 0$ tal que, para qualquer $x \in D$
\[0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\]
Seja $a > x$ tal que $a - x < \delta$. Note que $a - x = |x - a|$. Assim, pela condição acima,
\[|f(x) - L|  < \varepsilon\]
como queríamos.

Agora suponha que ambos os limites laterais existam e sejam iguais a $L$. Vamos mostrar que o limite também é igual a $L$. Seja $\varepsilon > 0$. Sejam $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais, para $x \in D \setminus \{a\}$ temos
\[a > x \land a - x < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\]
\[a < x \land x - a < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\]
Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Note que se $|x - a| < \delta$, então temos duas opções 
\[a > x \land a - x < \delta_1\]
ou
\[a < x \land x - a < \delta_2\]
e, em ambos os casos, obtemos o que desejamos. 
<WRAP right>$\square$</WRAP>

<WRAP tip>
Esse resultado muitas vezes ajuda a mostrar que um determinado limite não existe: se os limites laterais não coincidirem, o limite não existe (veja o exemplo abaixo).
</WRAP>

**Exemplo:** Considere a função $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 1$ se $x \geq 0$ e $f(x) = - 1$ se $x < 0$. Note que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1$ e $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Assim, não existe $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$. 

**~~#~~** Gaste um momento para se convencer de que se os dois limites laterais não coincidirem, o limite não pode existir.

[[lista:laterais1|Exercícios]]

[[lista:laterais|Exercícios (propostos pela turma da Matemática 2020)]]
Topologia e conjuntos em exercícios

Ferramentas do usuário

Ferramentas do site

Ferramentas da página
