Topologia e conjuntos em exercícios

======== Para o infinito e além! ========


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Pode ser que quando $x$ se aproxima de um determinado ponto $a$, o valor de $f(x)$ fica arbitrariamente grande - intuitivamente, ele vai ficando não só cada vez maior, como maior que qualquer valor que tentássemos estipular. Essa é a ideia que a próxima definição tenta capturar.

<WRAP tip>
Tente pensar como seria o gráfico de $\frac{1}{|x|}$ para $x$ chegando perto de $0$.
</WRAP>

**Definição:** Dada $f$ função real, dizemos que $f(x)$ tende a $+\infty$ quando $x$ tende a $a$ se
\[\forall M > 0 \ \exists \delta > 0 (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > M)\]
Neste caso, usamos a seguinte notação
\[\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty\]

<WRAP important>
Cuidado, neste caso vamos dizer que o limite existe, **mas ele não é um número real**.
</WRAP>

**Exemplo:** Considere $f(x) = \frac{1}{|x - 2|}$. Vamos mostrar que $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$. Seguindo a definição, fixamos um $M > 0$. Agora precisamos encontrar $\delta > 0$ de forma que

\[0 < |x - 2| < \delta \Rightarrow f(x) > M\]

Vamos mostrar que $\delta = \frac{1}{M}$ funciona. De fato, seja $x$ tal que $0 < |x - 2| < \delta$. Temos

\[f(x) = \frac{1}{|x - 2|} > \frac{1}{\delta} = M\]

<WRAP right>
$\square$
</WRAP>

Obviamente, temos a definição para $\lim\limits_{x \to a} f(x) = - \infty$. Você consegue deduzir qual ela deveria ser?

**~~#~~** Escreva a definição de $\lim\limits_{x \to a} f(x) = - \infty$. 

**~~#~~** Mostre que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$ se, e somente se, $\lim\limits_{x \to a} -f(x) = - \infty$.

<WRAP important}
Continua valendo a unicidade que tínhamos antes: se o limite vai para $+\infty$, ele não pode ir para um valor real também (e vice-versa). O análogo val para $-\infty$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$, então não existe $L \in \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$.<wrap info>[[solucao:maisInfinitoNaoNum|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ para algum $L \in \mathbb R$, então não é verdade que $\lim\limits_{x \to a}f(x) = +\infty$.

E como no caso dos limites "comuns", temos os limites laterais:

**Definição:** Dada $f$ função real, dizemos que $f(x)$ tende a $+\infty$ quando $x$ tende a $a$ pela esquerda se
\[\forall M > 0 \ \exists \delta > 0 (0 < a - x < \delta \Rightarrow f(x) > M)\]
Neste caso, usamos a seguinte notação
\[\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = +\infty\]

**~~#~~** Escreva as definições de $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ e $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = - \infty$.

E vale o resultado análogo ao que tínhamos anteriormente:

**Proposição** Seja $f$ função real e seja $a \in \mathbb R$. Então $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ se, e somente se, temos $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ e $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = +\infty$.

A demonstração é até mais simples do que a que fizemos anteriormente: tente fazer baseado nela.

<WRAP tip>
Vale o resultado análogo trocando-se $+\infty$ por $-\infty$. 
</WRAP>

**Exemplo** Considere $f(x) = \frac{1}{x}$. Vamos mostrar que $\lim_{x \to 0} f(x)$ não existe. Para isso, vamos mostrar que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ e que $\lim\limits_{x \to 0^-x} f(x) = -\infty.$ Vamos mostrar o segundo caso, deixando o outro como exercício. 

Seja $M < 0$. Temos que encontrar $\delta > 0$ de forma que, dado $x \neq 0$ com $-x < \delta$, temos que $f(x) < M$. Considere $\delta = -\frac{1}{M}$. Seja $x \neq 0$ com $-x < \delta$. Note que, assim, $\frac{1}{x} < -\frac{1}{\delta}$
\[f(x) = \frac{1}{x} < -\frac{1}{\delta} = M\]

<WRAP tip>
Podemos inverter os papeis de "$x$ se aproximar de um valor e $f(x)$ ir para infinito" com "$x$ ir para o infinito e $f(x)$ se aproximar de um valor". É a ideia da próxima definição.
</WRAP>

**Definição:** Dada $f$ função real, dizemos que $f(x)$ tende a $L$ quando $x$ tende a $+\infty$ se
\[\forall \varepsilon > 0 \ \exists K > 0 (x > K \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon)\]
Neste caso, usamos a seguinte notação
\[\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L\]

**Exemplo:** Vamos mostrar que $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Fixamos um $\varepsilon > 0$. Considere $K = \frac{1}{\varepsilon}$. Dado $x > K$, vamos mostrar que $|f(x) - 0| < \varepsilon$. De fato 
\[|f(x) - 0| = \frac{1}{x} < \frac{1}{K} = \varepsilon\]
<WRAP right>
$\square$
</WRAP>

**~~#~~** Escreva a definição $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L$, para $L \in \mathbb R$. 

**~~#~~** Mostre que $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$.
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