Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\sen{\text{sen}}$
$\def\dom{\text{dom}}$
======== Funções contínuas ========

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<WRAP info>
Seja $f$ uma função real. Dizemos que $f$ é **contínua no ponto** $a \in \dom(f)$ se $f(a) = \lim\limits_{x \to a} f(x)$. Dizemos que $f$ é **contínua** se $f$ é contínua em todos os pontos do seu domínio.
</WRAP>

**Exemplo** Com o que já temos sobre limites, é imediato notar que funções como $\sen$, $\cos$ e polinômios são contínuas. 


**Exemplo**
\[f(x) = \begin{cases}
1 & \mbox{se } x \geq 0\\
-1 & \mbox{se } x < 0\\
\end{cases}\]
Não é contínua no ponto $0$, já que o limite não existe em tal ponto.

**~~#~~** Verifique que a seguinte função é contínua:
\[f(x) = \begin{cases}
\frac{sen(x)}{x} & \mbox{se $x > 0$}\\
x + 1 & \mbox{se $x \leq 0$}\\
\end{cases}\]
                
O próximo resultado é imediato a partir dos resultados que já temos sobre limites:

**Proposição** Sejam $f, g$ funções contínuas no ponto $a$. Então
  * $f + g$ é contínua em $a$;
  * $f \cdot g$ é contínua em $a$;
  * se $g(a) \neq 0$, $\frac{f}{g}$ é contínua em $a$. 

**Dem.:**  Vamos fazer o primeiro item como exemplo. Note que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ e que $\lim\limits_{x \to a} g(x) = g(a)$. Assim, $\lim\limits_{x \to a} f(x) + g(x) = f(a) + g(a)$. 

<wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Cuidado que uma função só pode ou não ser contínua num ponto de seu domínio - veja os próximos exemplos.
</WRAP>

**Exemplo** A função $f(x) = \frac{1}{x}$ é contínua - note que, apesar de não existir o limite em $0$, esse ponto não está no domínio de $f$.

**Exemplo** Agora considere a função
\[f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x} & \mbox{se } x \neq 0\\
0 & \mbox{caso contrário}\\
\end{cases}\]
Essa função não é contínua, pois não é contínua no ponto $0$.

Finalmente, o próximo resultado nada mais é que uma tradução do que já fizemos anteriormente [[limites:composta|aqui]]:

**Proposição** Sejam $f$ e $g$ funções reais. Se $g$ é contínua em $a$ e $f$ é contínua em $g(a)$, então $f \circ g$ é contínua em $a$. 


Com tudo isso, é simples notar que:


**Exemplo** $\sen(x^2 + \cos(x) - 2)$ é contínua.

**~~#~~** Mostre que a função $f(x) = |x|$ é contínua.

**~~#~~** Mostre que $f$ é contínua num ponto $x \in \dom(f)$ se, e somente, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que para todo $z \in \dom(f)$, $|z - x| < \delta \Rightarrow |f(z) - f(x)| < \varepsilon$.
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