Topologia e conjuntos em exercícios

======== Alguns exercícios resolvidos ========

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Vamos apresentar alguns exercícios resolvidos juntando o que temos até o momento.
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**Exercício:**  Calcule $\lim\limits_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x - 1}{4x - 2}$.

\[
  \begin{array}{rcl}
    \lim\limits_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x - 1}{4x - 2} & = & \frac{5\cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1}{4 \cdot 0 - 2}\\
    & = & \frac{1}{2}\\
  \end{array}\]


**Exercício:** Calcule $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x - 1}$.

<WRAP tip>
O problema aqui é que está "zerando" tanto em cima como em baixo. Mas se a parte de cima está "zerando", é porque $(x - 1)$ fatora essa parte. 
</WRAP>

Note que $x^3 + x^2 - x - 1 = (x^2 + 2x + 1)(x - 1)$

Assim, temos
\[
  \begin{array}{rcl}
    \lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x - 1} & = & \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + 2x + 1)}{x - 1}\\
    & = & \lim_{x \to 1} x^2 + 2x + 1\\
    & = & 4\\
\end{array}\]

**Exercício:** Calcule $\lim\limits_{x \to 3}\frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 15}{x^2 - 9}$.

Novamente, temos que $(x - 3)$ divide ambas as partes. Fatorando, temos 
\[x^3 - 3x^2 + 5x - 15 = (x - 3)(x^2 + 5)\]
\[x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\]

Assim
\[
  \begin{array}{rcl}
    \lim\limits_{x \to 3} \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 15}{x^2 - 9} & = & \lim\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x^2 + 5)}{(x - 3)(x + 3)}\\
    & = & \lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 + 5}{x + 3}\\
    & = & \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\\
\end{array}\]

**Exercício:** Considere $f, g$ funções reais dadas por

\[f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{se } x \geq 0\\
      -1 & \mbox{se } x < 0\\
\end{cases}\]

\[g(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{se } x \geq 0\\
      1 & \mbox{se } x < 0$\\
\end{cases}\]

Analise os seguintes limites:

  * $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} 1 = 1$;
  * $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} -1 = -1$;
  * $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} -1 = -1$;
  * $\lim\limits_{x \to 0^-} g(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} 1 = 1$;
  * $\lim\limits_{x \to 0} f(x)g(x) = \lim\limits_{x \to 0} -1 = -1$;
  * $\lim\limits_{x \to 0} (f(x)+g(x)) = \lim\limits_{x \to 0} 0 = 0$.

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Note que este exemplo mostrar que, apesar do limite de cada parcela não existir, pode ser que o limite da soma exista (e a mesma coisa para a produto).
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**Exercício: **  Considere $f$ função real dada por 
\[f(x) = \begin{cases}
      0 & \mbox{se } x \leq -1\\
      2x & \mbox{se } -1 < x \leq 3\\
      x^2 - 3 & \mbox{se }x > 3
\end{cases}\]

Analise os limites nos pontos -1 e 3.

Temos
  * $\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^-} 0 = 0$;
  * $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^+} 2x = -2$.
Assim, não existe $\lim\limits_{x \to -1} f(x)$ (pois os limites laterais não coincidem).

Enquanto isso

  * $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^-} 3x = 6$;
  * $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^+} x^2 - 3 = 6$.
Ou seja, $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 6$.
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