Topologia e conjuntos em exercícios

======== Alguns exercícios envolvendo limites infinitos =========

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Vejamos alguns exercícios misturando o que temos até agora:

**Exercício** $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{x + 1} = \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x}{x(1 + \frac{1}{x})} = 1$

**Exercício** $\lim_\limits{x \to 0+} \frac{x^3 + 1}{x} = \lim_\limits{x \to 0+} \frac{x(x^2 + \frac{1}{x})} {x} = \lim_\limits{x \to 0+} (x^2 + \frac{1}{x}) = +\infty$

<WRAP tip>
O exercício anterior pode ser feito também da seguinte maneira:
\[\lim_\limits{x \to 0+} \frac{x^3 + 1}{x} = \lim_\limits{x \to 0+} (x^3 + 1)\frac{1}{x} = +\infty\]
Note que separamos num produto de um limite que vai para $1$ com um que vai para $+\infty$, então não há problema. 
</WRAP>

**Exercício** $\lim_\limits{x \to +\infty} \frac{x^3 + 1}{x} = \lim_\limits{x \to +\infty} \frac{x(x^2 + \frac{1}{x})} {x} = \lim_\limits{x \to +\infty} (x^2 + \frac{1}{x}) = +\infty$

**Exercício** $\lim\limits_{x \to +\infty} (5 - \frac{1}{x}) = 5$

**Exercício** $\lim_\limits{x \to +\infty} (3x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 7) = \lim_\limits{x \to +\infty} x^4(3 - \frac{2}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{7}{x^4}) = +\infty$

**Exercício** $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{2x + 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to + \infty}\frac{x(2 + \frac{1}{x})}{x(1 - \frac{1}{x})} = 2$
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