Topologia e conjuntos em exercícios

======== Um pouco sobre os domínios das funções ========

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Estamos sendo um pouco relaxados sobre como deve ser o domínio de cada função para se definir o limite. Fizemos isso para manter o foco na parte mais importante. Mas agora vamos discutir um pouco esse aspecto.
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Quando definimos o limite de uma função num ponto $a$, temos alguns aspectos a serem levados em conta:
  * a função não precisa estar definida em $a$ - na verdade, se ela está ou não, não importa para a definição;
  * precisamos que a função esteja definida em pontos "próximos" de $a$;
  * só importa para o limite os pontos que estão "próximos" de $a$ - quanto vale a função em pontos distantes, não afeta o limite.   

Esse segundo ponto merece ser mais detalhado. Se não houver pontos próximos no domínio da função, podemos ter a condição de "ser limite" satisfeita por vacuidade - e este definitivamente não é o caso que estamos interessados. Já o terceiro ponto é relativamente simples: para cada $\varepsilon$ tomado, se temos que $\delta$ satisfaz a definição, qualquer $\delta' < \delta$ também vai satisfazer. Tente olhar alguns casos concretos para notar que, de fato, os pontos "distantes" de $a$ não influenciam no cálculo do limite.

Tentando juntar essas informações, uma convenção é só se discutir se o limite existe ou não num ponto $a$ nos seguintes casos:
  * $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ se existe $r > 0$ tal que $]a, a + r[ \subset$ dom$(f)$;
  * $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ se existe $r > 0$ tal que $]a - r, a[ \subset$ dom$(f)$;
  * $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ se existe $r > 0$ tal que $(]a -r, a + r[ \setminus \{a\}) \subset$ dom$(f)$.

<WRAP tip>
Note que o último caso é consequência dos anteriores se usarmos a ideia que o limite existe se, e somente se, os limites laterais existem.
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**~~#~~** Faça um desenho de cada um dos casos acima.

Formalmente, daria para discutir a existência do limite até mesmo em casos mais gerais. Por exemplo, poderíamos discutir $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ se $\inf($dom$(f) \cap ]a, +\infty[) = a$. Mas, no geral, vamos trabalhar com as condições expostas anteriormente.

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Para tentar dar mais atenção às partes mais importantes, em geral não vamos discutir sobre os domínios nos enunciados, mas é bom ter mais ou menos claro o conceito apresentado aqui.
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**~~#~~** Considere $f$ cujo domínio é $[1, 2[ \cup [3, 5]$. Com a discussão feita acima, sobre quais limites faz sentido se discutir?

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)$

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}} f(x)$

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to 5^-} f(x)$

<WRAP important>
Alguns autores adotam que a definição de limite para uma função como a acima no ponto $1$ é a mesma que a definição de limite pela direita no ponto $1$ - já que é a única que faz algum sentido. **Não** vamos adotar essa convenção aqui.
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