Topologia e conjuntos em exercícios

======== Composta ========

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Limites também "comutam" com composições se as funções forem bem comportadas - veremos mais sobre esse "bom comportamento" no tópico sobre continuidade.

**Proposição** Considere $f, g: \mathbb R \to \mathbb R$. Seja $a \in \mathbb R$. Suponha que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$, $\lim\limits_{x \to L}g(x) = K$ e que $g(L) = K$. Então $\lim\limits_{x \to a} g(f(x))$ existe e é igual a $K$.

**Dem.:** Seja $\varepsilon > 0$. Precisamos encontrar $\delta > 0$ de forma que, para qualquer $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$, temos $|g(f(x)) - K| < \varepsilon$. Sabemos que existe $\delta_g > 0$ tal que, para todo $x$ com $0 < |x - L| < \delta_g$ temos
\[|g(x) - K| < \varepsilon.\]
 Também sabemos que existe $\delta_f > 0$ tal que, para qualquer $x$, se $0 < |x - a| < \delta_f$, temos que 
\[|f(x) - L| < \delta_g.\]
Vamos mostrar que $\delta = \delta_f$ funciona. Seja $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Temos que $|f(x) - L| < \delta_g$. Assim, temos duas opções. Se $|f(x) - L| = 0$, isto é, $f(x) = L$, temos o resultado já que $g(L) = K$. Já se $0 < |f(X) - L|$, temos
\[|g(f(x)) - K| < \varepsilon\]
como queríamos.

**Exemplo** Considere $f(x) = x + 1$ e $g(x) = x^2$. Note que $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 4$. Também sabemos que $\lim\limits_{x \to 4} g(x) = 16$. Assim, pelo resultado acima, podemos concluir que $\lim\limits_{x \to 3} g(f(x)) = 16$. Neste caso particular, poderíamos fazer de outra forma: note que $g(f(x)) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$. Usando essa expressão, podemos calcular diretamente
\[\lim\limits_{x \to 3} g(f(x)) = \lim\limits_{x \to 3} (x^2 + 2x + 1) = 9 + 6 + 1 = 16\]

<WRAP tip>
Muito cuidado nos limites: note no exemplo que $x$ tende a alguma coisa no limite de $f$, mas esse alguma coisa muda no limite de $g$.
</WRAP> 

<WRAP important>
Note que, novamente, deixamos os domínios serem todos os reais para facilitar. Mas se você for trabalhar com casos mais gerais, note que, enquanto o $a$ precisa ser levado em conta no domínio de $f$, no domínio de $g$ quem precisa ser levado em conta é o valor $L$.
</WRAP>

<WRAP tip>
Cuidado com versões com limites laterais aqui: $x$ tender a $f$ pela direita, não necessariamente vai fazer com $f(x)$ tenda a $L$ também pela direita - tome como exemplo uma função decrescente.
</WRAP>
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