Topologia e conjuntos em exercícios

======== Algumas propriedades da exponencial e do logaritmo ========

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<WRAP tip>
Dado $a > 0$, como $(a^x)' = a^x \ln a$ e $a^x > 0$, temos que o sinal de $(a^x)'$ é determinado por $\ln a$. Assim, tal derivada é positiva se $a > 1$ e negativa se $a < 1$. 
</WRAP>

Da observação anterior, podemos definir:

<WRAP info>
Seja $a > 0$ com $a \neq 1$. Definimos $\log_a: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$ a função inversa de $a^x$. Assim, $\log_a x = y$ se, e somente se, $a^y = x$ (note que para $a \neq 1$, $a^x$ é de fato injetora).
</WRAP>

**Proposição** Seja $a > 0$ com $a \neq 1$. Temos que $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ para $x > 0$.

**Dem.:** Temos que $x = a^{\log_a x} = e^{\log_a x \ln a}$. Aplicando $\ln$ em ambos os lados, temos $\ln x = \log_a x \ln a$. Assim, temos a expressão desejada. <wrap right>$\square$</wrap>

**Exemplo** Sejam $f, g$ funções diferenciáveis num ponto $x$ e tais que $f(x) > 0$. Então
\[\begin{array}{rcl}
((f(x))^{g(x)})' & = & (e^{g(x) \ln f(x)})'\\
& = & e^{g(x) \ln f(x)}(g(x) \ln f(x))'\\
& = & e^{g(x) \ln f(x)}(g'(x) \ln f(x) + g(x) \frac{1}{f(x)} f'(x))
\end{array}\]

**Exemplo** Seja $n \geq 2$. Então $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt[n]{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}} \stackrel{\heartsuit}{=} \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{n}{x^{\frac{1}{n}}} = 0$. 

**Exemplo** Seja $n \geq 1$. Então $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$. Vamos fazer por indução sobre $n$. Caso $n = 1$, obtemos por l'Hôpital:
\[\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} \stackrel{\heartsuit}{=} \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0.\]
Já o caso sucessor fica
\[\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{n + 1}}{e^x} \stackrel{\heartsuit}{=} \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(n + 1)x^n}{e^x} \stackrel{(HI)}{=} 0.\]

**Proposição (Segundo limite fundamental)**  $\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$.

**Dem.:** Note que $(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}$. Por l'Hôpital, temos que $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = 1$. Como $e^x$ é contínua, temos que $\lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)} = e^1 = e$.<wrap right>$\square$</wrap>

**Exemplo** Fazendo $a = -\frac{1}{x}$, temos $\lim\limits_{x \to +\infty} (1 - \frac{1}{x})^{-x} = \lim\limits_{a \to 0^-} (1 + a)^{\frac{1}{a}} = e$.
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