Topologia e conjuntos em exercícios

======== Integrais impróprias II ========

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Um erro comum é o seguinte: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = (-\frac{1}{x})|_{-1}^1 = -2$. Qual é o erro?
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Por enquanto, só trabalhamos com integrais de funções limitadas (pois contínuas num intervalo fechado). Mas ainda assim podemos tentar calcular em pontos de ilimitação:

<WRAP info>
Seja $f: [a, b[ \to \mathbb R$ contínua. Se $f$ é integrável em $[a, c]$ para todo $c$ tal que $a < c < b$, então definimos
\[\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx\]
se tal limite existir.  A definição é análoga para $]a, b]$. 
</WRAP>

**Exemplo** Considere $f(x) = \frac{1}{x}$. Temos $\int_0^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (\ln 1 - \ln t) = +\infty$. 

**Exemplo**  Considere $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Temos que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (2x^{\frac{1}{2}})|_t^1 = \lim\limits_{t \to 0^+} 2 (1 - t^{\frac{1}{2}}) = 2$.

**~~#~~** Para $p > 0$, determine $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$. Atenção, você vai ter que quebrar em alguns casos. Olhe [[integral:improprias|aqui]] para se inspirar.

<WRAP info>
Definimos $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx$ se, para qualquer $a \in \mathbb R$, temos que $\int_{-\infty}^a f(x)dx$ e $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ forem convergentes. Neste caso 
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^a f(x)dx + \int_a^{+\infty}f(x) dx\]
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<WRAP tip>
Cuidado, a definição anterior não é o limite de $\int_{-t}^t f(x)dx$. 
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