Topologia e conjuntos em exercícios

======== Teorema do valor médio ========

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**Teorema (de Rolle)** Sejam $a < b$ e $f:[a , b] \to \mathbb R$ contínua e diferenciável (em $]a, b[$). Se $f(a) = f(b)$, então existe $x \in ]a, b[$ tal que $f'(x) = 0$.

**Dem.:** Como $f$ é contínua, ela [[limites:maximo|admite]] máximo e mínimo. Vamos separar em dois casos. No primeiro, o máximo e o mínimo da função são iguais a $f(a) = f(b)$. Neste caso, a função é constante e, portanto, todo ponto tem derivada igual a $0$. 

No caso que o máximo ou mínimo forem diferentes, segue do fato da função ter um máximo (ou um mínimo) num ponto $x \in ]a, b[$. Em particular, $x$ é um [[derivada:maxMinLocal|ponto de máximo/mínimo local]].<wrap right>$\square$</wrap>

  
**Teorema (do valor médio)** Sejam $a < b$ e $f:[a , b] \to \mathbb R$ contínua e diferenciável (em $]a, b[$). Então existe $x \in ]a, b[$ tal que 
\[f'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\] 

**Dem.:** Considere a constante $K = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Defina 
\[g(x) = f(b) - f(x) - K(b - x)\]
Note que $g: [a, b] \to \mathbb R$ é diferenciável em $]a, b[$ e que 
  * $g(a) = f(b) - f(a) - f(b) + f(a) = 0$;
  * $g(b) = f(b) - f(b) - 0 = 0$. 
Logo, pelo teorema anterior, existe $x$ tal que $g'(x) = 0$. Note que 
\[g'(x) = -f'(x) + K.\]
Logo, $f'(x) = K = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. <wrap right>$\square$</wrap>
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