Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\sen{\text{sen}}$
======== Soma e produto ======== 

{{ youtube>7Vs1SyjmEI0?small}}
<WRAP tip>
A regra para a soma é bem o que a gente espera.
</WRAP>

**Proposição** Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis em $x_0$. Então 
\[(f(x_0) + g(x_0))' = f'(x_0) + g'(x_0)\]

**Dem.:** 
\[\begin{array}{rcl}
(f(x_0) + g(x_0))' & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x) + g(x) - f(x_0) - g(x_0)}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0}(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0})\\
& = & f'(x_0) + g'(x_0)\\
\end{array}\]<wrap right>$\square$</wrap>

**Exemplo** 
\[(x +\cos(x))' = x' + \cos'(x) = 1 - \sen(x)\]

<WRAP tip>
Infelizmente, com o produto não é tão direto. 
</WRAP>

**Proposição** Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis em $x_0$. Então 
\[(f(x_0)g(x_0))' = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)\]

**Dem.:**

\[\begin{array}{rcl}
(f(x_0)g(x_0))' & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) + f(x)g(x_0) - f(x)g(x_0)}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0}(\frac{f(x)g(x) - f(x)g(x_0)}{x - x_0} + \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0})\\
& = & \lim\limits_{x \to 0}(f(x)\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}g(x_0))\\
& = & f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0)g(x_0) 
\end{array}\]<wrap right>$\square$</wrap>


**Exemplo**
\[\begin{array}{rcl}
(\sen^2(x))' & = & (\sen(x)\sen(x))'\\
& = & \sen'(x)\sen(x) + \sen(x)\sen'(x)\\
& = & 2\cos(x)\sen(x)\\
\end{array}\]

**~~#~~**Sejam $f$ função diferenciável em $x_0$ e $k \in \mathbb R$. considere $g(x) = kf(x)$. Mostre que $g'(x_0) = kf'(x_0)$ de duas maneiras: pela definição e usando a regra do produto feita acima (use a função constante $h(x) = k$ para ajudar). 

**~~#~~** Como para todo $x$, $\sen^2(x) + \cos^2(x) = 1$, temos que que $(\sen^2(x) + \cos^2(x))' = 0$ (derivada da função constante). Mas você também pode mostrar essa última igualdade usando as regras apresentadas aqui - é um bom exercício e você já sabe a resposta.
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