Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\dom{\text{dom}}$
======== Pontos críticos ========

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Vamos agora continuar nosso estudo sobre crescimento / decrescimento de funções.

**Proposição** Sejam $I$ um intervalo e $f: I \to \mathbb R$ diferenciável e tal que $f'(x) > 0$ para todo $x \in I$. Então $f$ é estritamente crescente.

**Dem.:**  Sejam $a < b \in I$. Pelo [[derivada:valorMedio|Teorema do valor médio]], existe $x$ tal que $a < x < b$ e $f(b) - f(a) = f'(x)(b - a)$. Como $f'(x) > 0$ e $(b - a) > 0$, temos que $f(b) - f(a) > 0$ e, portanto $f(b) > f(a)$. <wrap right>$\square$</wrap>

**~~#~~** Mostre o resultado análogo ao anterior no caso que $f'(x) < 0$ para todo $x \in I$.

**Proposição** Sejam $I$ um intervalo e $f: I \to \mathbb R$ diferenciável tal que $f'(x) = 0$ para todo $x$, então $f$ é constante.

**Dem.:**  Suponha que não. Então existe $a < b$ com $f(a) \neq f(b)$. Então existe $x$ tal que $f(b) - f(a) = f'(x)(b - a) = 0$, contradição.<wrap right>$\square$</wrap>

**~~#~~** Dê um exemplo para mostrar que o fato do domínio ser um intervalo é essencial no resultado anterior.

<WRAP info>
Seja $f$ diferenciável. Chamamos $x \in \dom(f)$ de um **ponto crítico** se $f'(x) = 0$. 
</WRAP>

<WRAP tip>
Note que se $x$ é um ponto de máximo ou mínimo local de $f$, então $x$ é um [[derivada:maxMinLocal|ponto crítico]]. Mas não necessariamente ocorre a volta, como o exemplo a seguir mostra.
</WRAP>

**Exemplo** Considere $f(x) = x^3$. Então $f'(x) = 3x^2$. Note que $f'(0) = 0$, isto é, $0$ é um ponto crítico de $f$. Mas note que $0$ não é máximo nem mínimo local (perto de $0$ há valores $x, y$ tais que $f(x) < 0$ e $f(y) > 0$). Formalmente, podemos notar isso já que $f'(x) > 0$ para qualquer $x \neq 0$. Ou seja, $f$ é estritamente crescente em $\mathbb R_{\neq 0}$. 

**Proposição** Sejam $I$ um intervalo e $f: I \to \mathbb R$ diferenciável em $I \setminus \{c\}$, sendo que em $c$ a função é pelo menos contínua. Se existem $a < c < b \in I$ tais que todo $a < x < c$, $f'(x) > 0$ e para todo $c < x < b$, $f'(x) < 0$, então $c$ é um ponto de máximo local. 

**Dem.:** Basta notar que, em $[a, c]$, $f$ é estritamente crescente e que, em $[c, b]$, $f$ é estritamente decrescente. <wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
De forma análoga, podemos encontrar o caso de mínimo local.
</WRAP>

**Proposição** Seja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ diferenciável em $I \setminus \{c\}$, sendo que em $c$ a função é pelo menos contínua. Se existem $a < c < b \in I$ tais que todo $a < x < c$, $f'(x) < 0$ e para todo $c < x < b$, $f'(x) > 0$, então é $c$ é um ponto de mínimo local. 


Ou seja, podemos descobrir se um ponto crítico é um máximo ou um mínimo local se soubermos como se comporta a derivada perto de tal ponto. Para isso, podemos "derivar" a derivada:

<WRAP info> Seja $f: I \to \mathbb R$ função diferenciável. Se $f': I \to \mathbb R$ for diferenciável, denotamos sua derivada por $f''$ (chamamos de **segunda derivada** de $f$). 
</WRAP>

**Proposição** Sejam $I$ um intervalo e $f: I \to \mathbb R$ tal que $f''$ seja contínua. Se $x \in I$ é tal que $f'(x) = 0$ temos:
  * Se $f''(x) < 0$, então $x$ é ponto de máximo local;
  * Se $f''(x) > 0$, então $x$ é ponto de mínimo local.

**Dem.:**
Vamos fazer o primeiro caso, o outro é análogo. Como $f''(x) > 0$ e $f''$ é contínua, existe $J \subset I$ com $c \in J$ tal que $f''(y) > 0$ para todo $y \in J$ (pelo [[limites:preservacaoSinal|Teorema da preservação do sinal]]). Com isso, concluímos que $f'$ é estritamente crescente em $J$. Como $f'(x) = 0$, temos
  * se $y < x, y \in J$, então $f'(y) < 0$;
  * se $y > x, y \in J$, então $f'(y) > 0$.
 
Assim, temos obtemos o que desejamos pelo resultado anterior. <wrap right>$\square$</wrap>

**Exemplo** Considere $f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 1$.
 
Note que $f'(x) = 6x^2 + 8x$ e que $f''(x) = 12x + 8$. Assim, os pontos críticos de $f$ são os pontos onde $6x^2 + 8x = x(6x + 8) = 0$. Isto é, $x = 0$ e $x = -\frac{4}{3}$. 
 
Vamos verificar se tais pontos são de máximo ou de mínimo locais de duas maneiras. A primeira, usando o critério da segunda derivada:
 
Como $f''(0) = 8 > 0$, temos que $0$ é um ponto de mínimo local.

Como $f''(-\frac{4}{3}) = -16 + 8 = -8 < 0$, temos que $-\frac{4}{3}$ é um ponto de máximo local. 
 
Sem usar o critério da segunda derivada, podemos analisar da seguinte forma: Note que $f'(x)$ tem o seguinte comportamento: $f'(x) > 0$ para $x \in ]-\infty, -\frac{4}{3}[ \cup ]0, + \infty[$, $f'(x) < 0$ para $x \in ]-\frac{4}{3}, 0[$ e $f'(x) = 0$ apenas em $\{-\frac{4}{3}, 0\}$. Assim, $f$ cresce em $]-\infty, -\frac{4}{3}[$ e decresce em $]-\frac{4}{3}, 0[$, ou seja, $-\frac{4}{3}$ é um ponto de máximo local. Analogamente, $f$ decresce em $]-\frac{4}{3}, 0[$ e cresce em $]0, + \infty[$, assim, $0$ é ponto de mínimo local.
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