Topologia e conjuntos em exercícios

======== Polinômios ========

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Com o que temos, agora ficou bem fácil calcular derivadas de polinômios.

<WRAP tip>
Vamos usar que, se $f(x) = x$, $f'(x) = 1$. Se você ainda não sabe isso, tente fazer pela definição!
</WRAP>

**Lema** Dados $n \in \mathbb N$ e $k \in \mathbb R$, considere $f(x) = kx^n$. Então $f'(x) = nkx^{n - 1}$.

**Dem.:** Vamos fazer isso por indução sobre $n$. Caso $n = 0$, note que $f(x) = k$ e, de fato, $f'(x) = 0$ (função constante).

Agora suponha o caso $n$ e vamos provar o caso $n + 1$. Temos
\[\begin{array}{rcl}
f'(x) & = & (kx^{n + 1})'\\
& = & (kx^n x)'\\
& = & (kx^n)'x + kx^n (x)'\\
& \stackrel{(HI)}{=} & nkx^{n - 1}x + kx^n \cdot 1\\
& = & nkx^n + kx^n\\
& = & (n + 1)kx^n\\
\end{array}\]

**Proposição** Se $p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0$, então $p'(x) = na_nx^{n - 1} + (n - 1)a_{n - 1}x^{n - 2} + \cdots + a_1$.

**Dem.:** Basta usar o resultado anterior e o fato que a derivada da [[derivada:somaProduto|soma]] é a soma das derivadas.

**Exemplo** Considere $p(x) = 3x^5 - 4x^2 + x - 1$. Então
\[p'(x) = 15x^4 - 8x + 1\]

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