Topologia e conjuntos em exercícios

======== Máximos e mínimos locais ========

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Começamos com uma relação entre crescimento da função e o sinal da derivada:

**Proposição** Seja $f: I \to \mathbb R$ onde $I$ é um intervalo aberto. Se $f$ é diferenciável e crescente, então para todo $x \in I$, $f'(x) \geq 0$. 

**Dem.:** Sabemos que, para todo $x \in I$

\[\begin{array}{rcl}
f'(x) & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\
& \geq & 0\\
\end{array}\]<wrap right>$\square$</wrap>

Claramente, vale o resultado análogo para funções decrescentes:
  
**Proposição** Seja $f: I \to \mathbb R$ onde $I$ é um intervalo aberto. Se $f$ é diferenciável e decrescente, então para todo $x \in I$, $f'(x) \leq 0$. 


<WRAP tip>
Vamos discutir a volta dos resultados anteriores em outro momento.
</WRAP>


Algumas vezes queremos uma versão local de maximalidade: 
  
<WRAP info>
Dada $f: A \to \mathbb R$, dizemos que $x_0 \in A$ é um **ponto de máximo local** se existe um intervalo aberto $I$ tal que $x_0 \in I$ e, para todo $a \in I \cap A$, $f(a) \leq f(x_0)$. Definimos **ponto de mínimo local** de maneira análoga.  
</WRAP>

**Proposição** Seja $f: I \to \mathbb R$, onde $I$ é um intervalo aberto e $f$ é diferenciável. Se $x_0$ é um ponto de máximo local (mínimo local) então $f'(x_0) = 0$. 

**Dem.:** Vamos fazer o caso máximo local, o outro é análogo. Como $x_0$ é máximo local, existe $J \subset I$ tal que para todo $a \in J$, $f(a) \leq f(x_0)$. Note que, dado $h$ de forma que $x_0 + h \in J$, temos que
\[f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0.\]
Assim, calculando os limites laterais da derivada, temos
\[\lim\limits_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \geq 0\]
\[\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \leq 0\]
Como $f$ é diferenciável, $f'(x_0)$ coincide com ambos limites estimados acima. Ou seja, $f'(x_0) = 0$. <wrap right>$\square$</wrap>
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