Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\sen{\text{sen}}$
======== Definição e exemplos ========

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Vamos tentar aproximar uma função num determinado ponto por outra função cujo gráfico seja uma reta. Ou seja, dada uma função $f: A \to \mathbb R$, vamos tentar encontrar uma função $g: A \to \mathbb R$ de forma que $g$ seja "parecida" com $f$ num determinado ponto $x_0$. 

Para que $g$ tenha como gráfico uma reta, temos que $g$ deve ser calculada como
\[g(x) = ax + b.\]

Resta determinarmos os valores $a$ e $b$. Vamos impor que $g(x_0) = f(x_0)$ (já que queremos uma aproximação para o ponto $x_0)$. Então $ax_0 + b = f(x_0)$. E, portanto,
\[b = f(x_0) - ax_0.\]

Resta assim calcularmos o valor de $a$. Começamos tentando fazer com que a reta dada por $g$ cruze o gráfico de $f$ em dois valores: $x_0$ e $t$. Para isso, basta fazermos com que 
\[g(t) = f(t)\]
uma vez que, pelo que fizemos anteriormente, já temos que $g(x_0) = f(x_0)$. Substituindo o que já conhecemos de $g$, temos
\[g(t) = at + b = at + f(x_0) - ax_0 = f(t).\]
Supondo $t \neq x_0$, podemos fazer 
\[a = \frac{f(t) - f(x_0)}{t - x_0}\]
Intuitivamente, $a$ ficará cada vez melhor, conforme $x_0$ se aproxima de $t$. Isto é, podemos encontrar a "melhor $g$", se usarmos um limite para calcular o $a$:

<WRAP info>
Seja $f: A \to \mathbb R$, onde $A$ é um intervalo aberto. Dado $x_0 \in A$, chamamos de **derivada** de $f$ no ponto $x_0$ o seguinte limite (se ele existir):
\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]
Nesse caso dizemos que $f$ é **diferenciável** no ponto $x_0$.
</WRAP>

<WRAP tip>
Note que, com essa definição, se $f$ é diferenciável no ponto $x_0$, o cálculo da $g$ considerada acima fica simplesmente:
\[g(x) = f'(x_0)x + f(x_0) - f'(x_0)x_0\]
</WRAP>

<WRAP info>
Chamamos a reta dada pelo gráfico de $g$ acima de **reta tangente** ao gráfico de $f$ no ponto $x_0$. 
</WRAP>

Muitas vezes é mais conveniente calcular a derivada no ponto $x_0$ considerando-se o seguinte limite:
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]
Note que esse limite é uma simples substituição de variável ($x = x_0 + h$). 

**Exemplo** Considere $f(x) = x^2 + 1$. Vamos calcular $f'(x_0)$. 
\[\begin{array}{rcl}
f'(x_0) & = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2 + 1 - x_0^2 - 1}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^2 - x_0^2}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0} x + x_0\\
& = & 2x_0. 
\end{array}
\]

**Exemplo** Considere $f(x) = k$ (constante). Vamos calcular $f'(x_0)$:

\[f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{k - k}{x - x_0} = 0\]


**Exemplo** Usando o que foi feito acima, vamos determinar a reta tangente ao gráfico da função $f(x) = x^2 + 1$ nos pontos $3$ e $0$. 

Lembrando, a reta tangente no ponto $x_0$ é dada por $g(x) = f'(x_0)x + f(x_0) -f'(x_0)x_0$.
Assim, substituindo $f'(x_0) = 2x_0$ (como calculado acima), temos:
\[2x_0 x + x_0^2 + 1 - 2x_0 x_0 = 2x_0 x -x_0^2 + 1\]
Desta forma, no ponto $3$ a reta tangente é dada por
\[g_3(x) = 6x -9 + 1 = 6x -8\]
e no ponto $0$ temos
\[g_0(x) = 1\]
Note que, de fato, $g_3(3) = f(3)$ e que $g_0(0) = f(0)$. 


**~~#~~** Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x$.
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