Topologia e conjuntos em exercícios

======== Continuidade $\times$ diferenciabilidade =======

{{ youtube>LWjdmtd2kL8?small}}

<WRAP tip>
O próximo exercício deixa a demonstração do resultado a seguir mais limpa.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $A$. Sejam $a \in A$ e $k \in \mathbb R$. Mostre que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe e é igual a $k$ se, e somente se, $\lim\limits_{x \to a}(f(x) - k) = 0$.

**Proposição** Toda função diferenciável num ponto $x_0$ é contínua em tal ponto.

**Dem.:** Seja $f: A \to \mathbb R$ diferenciável em $x_0 \in A$. Precisamos mostrar que $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Note que isso é o mesmo que mostrar que $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) - f(x_0) = 0$. Temos:

\[\begin{array}{rcl}
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) - f(x_0) & = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))(x - x_0)}{x - x_0} \\
& = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} (x - x_0)\\  
& = & 0
\end{array}\]
Onde a última igualdade segue de ser um limite do produto de algo que tende a $f'(x_0)$ por algo que tende a $0$.<wrap right>$\square$</wrap>


<WRAP tip>
Atenção que não vale a volta do resultado anterior - veja o exemplo a seguir.
</WRAP>

**Exemplo** Lembre que a função $f(x) = |x|$ é contínua no ponto $0$. Mas vamos ver que $f(x)$ não admite derivada no ponto $0$. Para isso, vamos calcular os limites laterais de $\frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$ e ver que eles são distintos. Por um lado, 
\[\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim\limits_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1.\]
Por outro lado, 
\[\lim\limits_{h \to 0^-} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim\limits_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1.\]
Topologia e conjuntos em exercícios

Ferramentas do usuário

Ferramentas do site

Ferramentas da página
