Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\sen{\text{sen}}$

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======== Regra da cadeia ========

<WRAP tip>
Vamos tentar calcular $(f(g(x_0)))'$ para $f$ e $g$ diferenciáveis (pense em calcular a derivada de $f \circ g$ no ponto $x_0$). 
</WRAP>

Suponha por um momento que $g(x) \neq g(x_0)$ para todo $x \neq x_0$. Com isso, podemos escrever: (faça $a = g(x)$)

\[\begin{array}{rcl}
\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} & = & \lim\limits_{a \to g(x_0)} \frac{f(a) - f(g(x_0))}{a - g(x_0)}\\
& = & f'(g(x_0))\\
\end{array}\]

Assim, ainda supondo que $g(x) \neq g(x_0)$ para todo $x \neq x_0$, temos:
\[\begin{array}{rcl}
(f(g(x)))' & = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}\\
& = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\\
& = & f'(g(x_0))g'(x_0)
\end{array}\]

Para "corrigir" o problema de $g(x) = g(x_0)$, vamos definir a seguinte função auxiliar:

\[A(b) = \begin{cases}
\frac{f(b) - f(g(x_0))}{g(b) - g(x_0)} & \mbox{se } g(b) \neq g(x_0)\\
f'(g(x_0)) & \mbox{caso contrário}
\end{cases}\]

Note que $\lim\limits_{b \to x_0} A(b) = f'(g(x_0))$ e que, para qualquer  $x \neq x_0$, 
\[\frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} = A(g(x)) \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}.\]
De fato, se $g(x) \neq g(x_0)$, temos:

\[\begin{array}{rcl}
A(g(x))\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} & = & \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)}\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\\
& = & \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}\\
\end{array}\]

Enquanto que no caso em que $g(x) = g(x_0)$, ambos os lados da equação são $0$. Assim,
\[\begin{array}{rcl}
(f(g(x_0)))' & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} \\
& = & \lim\limits_{x \to x_0} A(x) \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\\
& = & f'(g(x_0))g'(x_0)
\end{array}\]


Ou seja, provamos o seguinte resultado:

**Proposição (Regra da cadeia)**
Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis. Então $(f(g(x_0)))' = f'(g(x_0))g'(x_0)$.


**Exemplo** Algumas vezes, dá para calcular a derivada de duas formas. Considere por exemplo $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = x + 3$. Suponha que queremos calcular $(f(g(x))'$. Um primeiro modo, é simplesmente calcular quem é $f \circ g$ primeiro e depois derivar:
\[\begin{array}{rcl}
f(g(x)) & = & f(x + 3)\\
& = & (x + 3)^2 + 1\\
& = & (x^2 +6x + 9) + 1\\
& = & x^2 + 6x + 10.\\
\end{array}\]

Derivando,
\[\begin{array}{rcl}
(f(g(x)))' & = & (x^2 + 6x + 10)'\\
& = & 2x + 6\\
\end{array}\]

Por outro lado, poderíamos aplicar a regra da cadeia:

\[\begin{array}{rcl}
(f(g(x))' & = & f'(g(x))g'(x)\\
& = & f'(x + 3)\cdot 1\\
& = & 2(x + 3)\\
& = & 2x + 6.\\
\end{array}\]

E (ainda bem!) obtemos o mesmo resultado.
 
**Exemplo** Neste exemplo estamos considerando a função $f(x) = \sen(x)$ e a função $g(x) = x^3$. 
\[\begin{array}{rcl}
(f(g(x)))' & = & f'(g(x))g'(x)\\
& = & \sen'(x^3)(x^3)'\\
& = & \cos(x^3)3x^2\\
& = & 3x^2\cos(x^3)\\
\end{array}\]
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