Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\sen{\text{sen}}$
======== Algumas funções trigonométricas ========

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Veremos para frente formas de "juntar" derivadas que já sabemos calcular para descobrir novas derivadas - mais ou menos como fizemos com limites. Mas, assim como lá, alguns primeiros casos terão que ser feitos via definição. Vamos fazer então os casos de $\sen(x)$ e $\cos(x)$. 

<WRAP tip>
No próximo exemplo, vamos utilizar a seguinte identidade:
\[\sen(a + b) = \sen(a)\cos(b) + \cos(a)\sen(b)\]
</WRAP>

**Exemplo** Vamos calcular $\sen'(x_0)$:

\[\begin{array}{rcl}
\sen'(x_0) & = & \lim\limits_{h \to 0}\frac{\sen(x_0 + h) - \sen(x_0)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sen(x_0)\cos(h) + \sen(h)\cos(x_0) - \sen(x_0)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sen(x_0)(\cos(h) - 1) + \sen(h)\cos(x_0)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} (\frac{\sen(x_0)(\cos(h) - 1)}{h} + \frac{\sen(h)}{h} \cos(x_0))\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} (\frac{\sen(x_0)(\cos^2(h) - 1)}{h(\cos(h) + 1)} + \frac{\sen(h)}{h} \cos(x_0))\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} (\frac{\sen(x_0) (-\sen^2(h))}{h(\cos(h) + 1)} + \frac{\sen(h)}{h} \cos(x_0))\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} (-\sen(x_0)\frac{\sen(h)}{\cos(h) + 1}\frac{\sen(h)}{h} + \frac{\sen(h)}{h} \cos(x_0))\\
& = & \cos(x_0)
\end{array}\]

<WRAP tip>
No próximo exemplo, usamos usar a seguinte identidade:
\[\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sen(a)\sen(b)\]
</WRAP>


**Exemplo** Vamos agora calcular $\cos'(x_0)$
\[\begin{array}{rcl}
\cos'(x_0) & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos(x_0)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0}\frac{\cos(x_0)\cos(h) - \sen(x_0)\sen(h) - \cos(x_0)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos(x_0)(\cos(h) - 1) - \sen(x_0)\sen(h)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos(x_0)(\cos^2(h) - 1)}{h(\cos(h) + 1)} - \frac{\sen(x_0)\sen(h)}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{-\cos(x_0)\sen^2(h)}{h(\cos(h) + 1)} - \frac{\sen(x_0)\sen(h)}{h}\\
& = & -\sen(x_0)
\end{array}\]
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