Topologia e conjuntos em exercícios

****Algumas coisas que são sempre importantes de serem lembradas:****

**Álgebra de Boole**
 
Uma {{entry>álgebra de Boole}} é um conjunto $A$, munido de duas operações binárias $+$ e $\cdot$ e uma unitária $-$ com dois elementos denotados por $0, 1 \in A$ tais que, para todo $a, b, c \in A$:
  - $a \cdot b = b \cdot a$ e $a + b = b + a$
  - $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ e $a + (b + c) = (a + b) + c$
  - $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ e $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$
  - $a \cdot (a + b) = a + (a \cdot b) = a$
  - $a \cdot (-a) = 0$ e $a + (-a) = 1$

Alguns resultados:

  - $a1 = a$ e $a + 0 = a$
  - $a + a = aa = a$
  - $a0 = 0$ e $a + 1 = 1$
  - $-0 = 1$ e $-1 = 0$
  - se $a \leq b$ e $a' \leq b'$, então $aa' \leq bb'$
  - Para todo $a \in A$, $0 \leq a \leq 1$
  - $a \leq b$ se, e somente se, $a + b = b$
  - $a \leq b$, então $-b \leq -a$
  - $a \not \leq b$ se, e somente se, $a - b \neq 0$
  - $a \Rightarrow b = -a + b$
  - $ab \leq c$ se, e somente se, $a \leq (b \Rightarrow c)$

**Ideia geral**

Se $\varphi$ e $\psi$ são fórmulas de teoria dos conjuntos, temos:
  - $|\neg \varphi ]\!] = - |\varphi |$
  - $|\varphi \land \psi|=|\varphi ||\psi |$
  - $|\varphi \rightarrow \psi | = 1$ se, e somente se, $|\varphi | \leq | \psi |$

**Nome**

Seja $x$ um conjunto. Definimos {{entry>$\check x$}} o nome tal que dom$(\check x) = \{\check y: y \in x\}$ e, para cada $y \in x$, $\check x(\check y) = 1$

**Valor Booleano de fórmulas**

Sejam $x, y$ nomes. Definimos:

  - $\displaystyle |x \in y | = \sup_{t \in \text{dom}(y)}y(t)|x = t |$
  - $\displaystyle |x \subset y | = \inf_{t \in \text{dom}(x)} (x(t) \Rightarrow |t \in y |)$
  - $| x = y | = | x \subset y || y \subset x |$

Sejam $a, b, c$ nomes. Mostre as seguintes afirmações:
  - $|a = b || b = c| \leq | a = c |$
  - $|a \in b || a = c | \leq | c \in b |$
  - $| a \in b || b = c | \leq | a \in c |$

**Axioma da Separação e Axioma das Partes**

Se $a$ e $b$ são nomes e $\varphi$ é uma fórmula então:

  - $| a=b ||\varphi(b) | \leq | \varphi(a) |$.

  - $\displaystyle \sup_c |a=c \wedge \varphi(c) | = | \varphi(a) |$

  - $\displaystyle -\inf_{a \in A} a = \sup_{a \in A} -a$

**Princípio do máximo**

Dada $\varphi$ fórmula, existe $\sigma$ nome de modo que $| \exists x \, \varphi (x) | = | \varphi ( \sigma ) |$
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