Topologia e conjuntos em exercícios

===== Aula de 12/04 =====


  * Dada uma função $f: A \to B$ e dado $C \subset B$, denotamos por $f^{-1}[C] = \{a \in A: f(a) \in C\}$ (note que não estamos dizendo que existe a inversa de $f$ - apenas a notação é similar).
    * Determine $\cos^{-1}[\{-1, 1\}]$.
    * Determine $\cos^{-1}[\{0\}]$.
    * Determine $\cos^{-1}[\{2\}]$.
    * Mostre que $f: A \to B$ é sobrejetora se, e somente se, para todo $C \subset B$ não vazio, temos que $f^{-1}[C] \neq \emptyset$.
    * Mostre que $f: A \to B$ é injetora se, e somente se, para todo $b \subset B$, $f^{-1}[\{b\}]$ tem no máximo um elemento. 

  * Considere $\cos: \mathbb R \to \mathbb [0, 1]$. Joãozinho gostaria muito que a função $\cos$ fosse bijetora. Para isso, ele precisa restringir o domínio de $\cos$ para algum $A \subset \mathbb R$. Quais das seguintes alternativas faria o que Joãozinho quer?
    * $A = [0, \pi]$
    * $A = [0, 2\pi]$
    * $A = [0, \frac{\pi}{2}]$
    * $A = [\pi, 2\pi]$

  * No exercício anterior, é uma convenção adotarmos $A = [0, \pi]$. Neste caso, denotamos a inversa de $\cos$ (já que agora ela tem inversa) como sendo $\arccos$. 
    * $\arccos$ é contínua? 


  * Calcule os seguintes limites:
    * $\lim\limits_{x \to 1+} \frac{\sqrt{x^2  -1}}{\sqrt{3x - 3}}$  
    * $\lim\limits_{x \to 1+} \frac{\sqrt{x^2  -1}}{3x - 3}$  
    * $\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{3x^2 + 1} - \sqrt{4x^2 - 1}$
Topologia e conjuntos em exercícios

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