Topologia e conjuntos em exercícios

===== Aula de 03/04 =====

  * A função dada por $f(x) = 0$ se $x \in \mathbb Q$ e $f(x) = -1$ se $x \notin \mathbb Q$ é limitada?

  * Sejam $f$ e $g$ funções. É verdade que $f \circ g$ é limitada quando:
    * $f$ é limitada;
    * $g$ é limitada.

  * Se $f$ é limitada, é verdade que $\frac{1}{f}$ é limitada?

  * Se $f$ é limitada, é verdade que a função dada por $|f(x)|$ é limitada?

<WRAP info>
 Dizemos que uma função $f$ é limitada inferiormente se existe $L$ tal que $f(x) \geq L$ para todo $x$. Dizemos que $f$ é limitada superiormente se existe $M$ tal que $f(x) \leq M$ para todo $x$. 
</WRAP>

  * Dê um exemplo de uma função limitada superiormente, mas que não seja limitada.

  * Seja $f$ tal que $\lim_\limits{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Suponha que $g$ seja limitada inferiormente. 
    * Mostre que $\lim_{x \to +\infty} (f(x) + g(x)) = +\infty$.
    * Se $g$ fosse limitada superiormente (em vez de inferiormente), continuaria valendo o resultado?
    * Tente enunciar (e provar) o resultado análogo para uma $f$ cujo limite para $+\infty$ seja $-\infty$.

Topologia e conjuntos em exercícios

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