Topologia e conjuntos em exercícios

===== Aula de 22/03 =====

  * Calcule os seguintes limites:
    * $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 - 2x + 1$
    * $\lim\limits_{x \to +\infty} -4x^2 +3x + 1$

  * Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 0$ se $x$ racional e $f(x) = 1$ se $x$ irracional. Qual é o $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$?
 
  * Se $f: \mathbb R \to \mathbb R$ é uma função ímpar tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -7$, o que podemos dizer sobre $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$?

  * Dada $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} xf(x) = 4$, quanto vale $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$? (suponha que tal limite existe)
  
  * Considere $g: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Mostre pela definição que $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{g(x)} = 0$. 

  * Use o item anterior para concluir que, se $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = k$ (com $k \in \mathbb R$) e $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \infty$, então $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$.

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