Topologia e conjuntos em exercícios

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Linha 25: Linha 27:
   * Se $x \geq 0$, então $|x| = x \geq 0$. Se $x < 0$, então $|x| = -x > 0$, já que $x < 0$.    * Se $x \geq 0$, então $|x| = x \geq 0$. Se $x < 0$, então $|x| = -x > 0$, já que $x < 0$. 
   * Se $x > 0$, então $|x| = x$. Por outro lado, $|-x| = -(-x) = x$. Se $x < 0$, então $|x| = -x$. Por outro lado, $|-x| = -x$. Finalmente, se $x = 0$, então $|x| = 0 = |-x|$.    * Se $x > 0$, então $|x| = x$. Por outro lado, $|-x| = -(-x) = x$. Se $x < 0$, então $|x| = -x$. Por outro lado, $|-x| = -x$. Finalmente, se $x = 0$, então $|x| = 0 = |-x|$. 
-  * Se $x \geq 0$, então $x = |x|$. Se $x < 0$, então $x < |x|$ pois $|x| \geq 0$ pelo item $(a)$.  +  * Se $x \geq 0$, então $x = |x|$. Se $x < 0$, então $x < |x|$ pois $|x| \geq 0$ como provado acima.  
-  * Se $x \geq 0$, então $-|x| \leq x$ pois $-|x| \leq 0$ (item $(a)$). Se $x < 0$, então $-|x| = -(-x) = x$. +  * Se $x \geq 0$, então $-|x| \leq x$ pois $-|x| \leq 0$. Se $x < 0$, então $-|x| = -(-x) = x$. 
   * Vamos aqui separar em mais casos. Caso $x > 0$ e $y > 0$, então $|xy| = xy = |x||y|$. Se $x < 0$ e $y > 0$, então $|xy| = -(xy) = (-x)y = |x||y|$ (a primeira igualdade segue do fato que $xy < 0$. A última igualdade é fácil de ver se você ler da direita para esquerda). O caso em que $x > 0$ e $y < 0$ é análogo ao anterior. Se $x < 0$ e $y < 0$, então $|xy| = xy = (-x)(-y) = |x||y|$. Finalmente, se $x$ ou $y$ forem $0$, então $|xy| = 0 = |x||y|$. <wrap right>$\square$</wrap>   * Vamos aqui separar em mais casos. Caso $x > 0$ e $y > 0$, então $|xy| = xy = |x||y|$. Se $x < 0$ e $y > 0$, então $|xy| = -(xy) = (-x)y = |x||y|$ (a primeira igualdade segue do fato que $xy < 0$. A última igualdade é fácil de ver se você ler da direita para esquerda). O caso em que $x > 0$ e $y < 0$ é análogo ao anterior. Se $x < 0$ e $y < 0$, então $|xy| = xy = (-x)(-y) = |x||y|$. Finalmente, se $x$ ou $y$ forem $0$, então $|xy| = 0 = |x||y|$. <wrap right>$\square$</wrap>
  
Linha 34: Linha 36:
 \[|x| \leq a \text{ se, e somente se,} -a \leq x \leq a\] \[|x| \leq a \text{ se, e somente se,} -a \leq x \leq a\]
  
-**Dem.:** Suponha $|x| \leq a$. Temos, por $(c)$, que $x \leq |x| \leq a$, ou seja, que $x \leq a$. Por outro lado, temos, por $(b)$ que $|x| = |-x|$. Logo, novamente por $(c)$, temos que $-x \leq |-x| = |x| \leq a$. Isto é, $-x \leq a$. Note que isso implica $-a \leq x$. Assim, temos $-a \leq x \leq a$. +**Dem.:** Suponha $|x| \leq a$. Temos, pelo resultado anterior, que $x \leq |x| \leq a$, ou seja, que $x \leq a$. Por outro lado, temos que $|x| = |-x|$. Logo, temos que $-x \leq |-x| = |x| \leq a$. Isto é, $-x \leq a$. Note que isso implica $-a \leq x$. Assim, temos $-a \leq x \leq a$. 
  
 Agora suponha que $-a \leq x \leq a$. Vamos estimar $|x|$. Temos duas opções $x \geq 0$ e $x < 0$. Se $x \geq 0$, temos que $|x| = x \leq a$. Se $x < 0$, temos que $|x| = -x$. Note que, de $-a \leq x$, temos que $-x \leq a$. Logo, $|x| = -x \leq a$. Assim, $|x| \leq a$. <wrap right>$\square$</wrap> Agora suponha que $-a \leq x \leq a$. Vamos estimar $|x|$. Temos duas opções $x \geq 0$ e $x < 0$. Se $x \geq 0$, temos que $|x| = x \leq a$. Se $x < 0$, temos que $|x| = -x$. Note que, de $-a \leq x$, temos que $-x \leq a$. Logo, $|x| = -x \leq a$. Assim, $|x| \leq a$. <wrap right>$\square$</wrap>
Linha 55: Linha 57:
 Vamos agora ao segundo método. Vamos olhar para $|x - 7|$ e separar nos casos possíveis. Se $x - 7 \geq 0$, temos que $|x - 7| = x - 7$. Ou seja, para os $x \geq 7$, a desigualdade vale se, e somente se, $x \geq 3 + 7 = 10$.  Vamos agora ao segundo método. Vamos olhar para $|x - 7|$ e separar nos casos possíveis. Se $x - 7 \geq 0$, temos que $|x - 7| = x - 7$. Ou seja, para os $x \geq 7$, a desigualdade vale se, e somente se, $x \geq 3 + 7 = 10$. 
    
-No caso em que $x - 7 < 0$ (isto é, $x < 7$) temos que $|x - 7| = -(x - 7) = 7 - x$. Assim, para $x < 7$, a desigualdade vale se, e somente se, $-x < 3 - 7 = -4$. Isto é, $x > -4$. Juntando os dois casos, obtemos que a desigualdade vale se, e somente se, $-4 < x < 10$ (ou seja, o mesmo resultado obtido anteriormente). +No caso em que $x - 7 < 0$ (isto é, $x < 7$) temos que $|x - 7| = -(x - 7) = 7 - x$. Assim, para $x < 7$, a desigualdade vale se, e somente se, $-x < 3 - 7 = -4$. Isto é, $x > 4$. Juntando os dois casos, obtemos que a desigualdade vale se, e somente se, $4 < x < 10$ (ou seja, o mesmo resultado obtido anteriormente). 
  
 [[exercicios:modulos|Exercícios]] [[exercicios:modulos|Exercícios]]
  
vida/modulos.1598534922.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:45 (edição externa)

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