Diferenças

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caio
+++ solucao:x2isor [2020/11/06 16:05] (atual)
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-Vamos extender o isomorfismo $f: D \rightarrow \mathbb Q$ construído no item (1) dessa seção. Considere $F: X \rightarrow \mathbb R$ definida como $F(x) = \sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$. Sejam $x,y \in X$ com $x < y$. Da densidade de $D$ segue que existe $p \in D$ tal que $p \in ]x,y[$. Note que $F(x) < F(p)$ e que $F(p) < F(y)$, portanto $F(x) < F(y)$. Logo, $F$ preserva a ordem e é injetora. Da completude de $X$ segue que $F$ é sobrejetora.
+Vamos extender o isomorfismo $f: D \rightarrow \mathbb Q$ construído no item (1) dessa seção. Considere $F: X \rightarrow \mathbb R$ definida como $F(x) = \sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$.
-Portanto $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.
+Sejam $x,y \in X$ com $x < y$. Da densidade de $D$ segue que existe $p \in D$ tal que $p \in ]x,y[$. Note que $F(x) < F(p)$ e que $F(p) < F(y)$, portanto $F(x) < F(y)$. Isso mostra que $F$ preserva a ordem e é injetora. Mostremos que é sobrejetora:
+Seja $a \in \mathbb R$. Considere $x = sup\{d \in D: f(d) \leq a\}$, que existe devido a completude de $X$. Note que $F(x) = a$.
+Com isso concluímos que $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.

Topologia e conjuntos em exercícios